Les solides platoniques et la théorie de Platon de tout | pierre énergétique

Les solides platoniques et la théorie de Platon de tout

La tradition socratique n'était pas
particulièrement cohérent avec les mathématiques, qui peuvent être recueillies auprès de Socrates & # 39;
l'incapacité de convaincre que 1 plus 1 est 2, mais il semble que son
étudiant Platon a acquis une compréhension des mathématiques après une série de
parle avec son ami Archytas en 388 av. Une des choses les plus
capturé l'imagination de Platon était l'existence et l'unicité de ce qui est maintenant
appelé les cinq "solides platoniques". Il est incertain qui premier
décrit ces cinq personnages – c’était peut-être le début de pythagore
– mais certaines sources (y compris Euclid) indiquent que Theaetetus (un autre
ami de Platon) a écrit le premier récit complet des cinq habitués
solides. Cela a probablement constitué la base des constructions du peloton
solides qui composent le livre final XIII des éléments d'Euclide. Dans certains
Dans le cas, Platon a été grandement impressionné par ces cinq formes particulières
constituent la seule disposition parfaitement symétrique d'un ensemble de
(non planaire) dans la pièce, et tard dans la vie, il lance une complète
"théorie de tout", dans la thèse appelée Timée, fondée explicitement
sur ces cinq solides. Intéressant, presque 2000 ans plus tard, Johannes Kepler
était également fasciné par ces cinq personnages et s’est développé
la cosmologie d'eux.

Pour obtenir une symétrie parfaite
entre les croix, il est clair que chaque face d’un polyèdre régulier doit
être un polygone régulier, et toutes les faces doivent être identiques. Donc, Théétète
D'abord examiné quels solides pourraient être construits avec des côtés juste égaux
faces triangulaires. Si seulement deux triangles se rencontrent à un sommet, ils doivent évidemment
être coplanaire, donc pour créer un solide, il faut au moins trois triangles
se réunir à chaque sommet. Évidemment, quand nous avons arrangé trois triangles comme
De cette façon, leurs bases forment un autre triangle équilatéral, nous avons donc un
figure solide complètement symétrique à quatre faces, appelée tétraèdre,
illustré ci-dessous.

Par contre, si on le fait quatre
triangles se rencontrent à un sommet, nous produisons une pyramide carrée, et nous pouvons
Il est évident que vous en mettez deux ensemble, base à base, pour donner un héros
arrangement symétrique de huit faces triangulaires, appelé l'octaèdre,
Montré ci-dessous.

Ensuite, nous pouvons faire cinq
les triangles équilatéraux se rencontrent en un point. C'est moins évident dans ce cas, mais si
nous continuons ce schéma en ajoutant des triangles équilatéraux pour que cinq se rencontrent
Chaque sommet forme un solide complet avec 20 faces triangulaires. C'est
appelé l'icosaèdre, montré ci-dessous.

Maintenant nous pouvons essayer de mettre six
triangles équilatéraux en un point, mais le résultat est un plan
arrangeant des triangles, ainsi il ne donne pas un solide final. Je suppose que nous
peut considérer cela comme un solide platonique de rayon infini, ce qui peut avoir
utile dans la cosmologie de Platon, mais cela ne semble pas avoir été vu dans cette
manière. Ce n’est peut-être pas surprenant, compte tenu de l’aversion bien connue des
les anciens mathématiciens grecs à compléter l'infini. Au moins, nous
ne peut clairement plus construire de solides parfaitement symétriques
triangles équilatéraux, nous devons donc nous tourner vers d’autres formes faciales possibles.

La prochaine forme de polygone commune
est le carré, et encore nous constatons que mettre seulement deux carrés ensemble le rend
Ne donnez pas un angle solide, nous avons donc besoin d'au moins trois carrés pour nous faire face
sommet. Lorsque nous mettons trois carrés ensemble, nous voyons que nous pouvons ajouter trois autres
Donnez le solide parfait à six faces, appelé hexaèdre (également appelé
cube). Ceci est montré ci-dessous.

Si nous essayons de faire quatre
faces carrées se rencontrent à chaque sommet, nous avons une autre surface plane (donner
un autre "solide infiniment platonique"), bien sûr, c'est la seule chose
solide fini parfaitement symétrique à faces carrées.

Continue à pentagonal
(à cinq côtés), nous le trouvons si nous assemblons 12 pentagones afin que
trois se rencontrent à chaque sommet, nous arrivons au cinquième jeûne platonique, appelé
dodécaèdre, illustré ci-dessous.

Il n’est pas évident que 12
des pentagones ordinaires identiques viendraient parfaitement ensemble pour former un
solide fermé, mais cela fonctionne, comme Theaetetus est apparu et comme Euclid démontre
à cause des éléments. Bien sûr, si nous acceptons l'icosaèdre
fonctionne, alors le dodecah suit automatiquement, car ces deux chiffres sont
"duels" les uns des autres. Cela signifie que l'icosaèdre a 20 faces
et 12 coins, tandis que le dodécahron a 12 faces et 20 coins, et
Les positions angulaires des centres du visage à un correspondent aux positions
par l'autre. Ainsi, lorsque nous avons l'icosaèdre, nous ne pouvons que
mettre un point au milieu de chaque visage, relier les points et l'alto!, nous avons un
dodécaèdre. De même, le cube et l'octaèdre sont des duels les uns des autres.
En outre, le tétraèdre est le double de lui-même (pour ainsi dire).

De toute évidence, il est impossible pour
Quatre (ou plus) faces pentagonales se rejoignent au sommet car elles sous-tendent
plus de 360 ​​degrés. Pour les faces hexagonales (à six côtés), trois hexagones
se rencontrer en un point constitue un autre "infiniment fixé", à savoir un
surface plane. Il est également évident qu’aucun polygone d’ordre supérieur ne peut fournir un
puis les cinq solides déjà mentionnés – tétraèdre, hexaèdre, octaèdre,
icosaèdre et dodécaèdre – sont les seuls polyèdres communs. Théétète
non seulement prouvé que ces solides existent et qu'ils sont les seuls parfaits
solides symétriques, il a également donné les rapports réels des longueurs de bord E à
les diamètres D des sphères circonférentielles pour chacun de ces solides. cette
est résumé dans les dispositions 13 à 17 des Eléments d'Euclide.

Dans Timée, Platon
a choisi de composer chacun de ces solides à partir des triangles droits qui ont joué
le rôle des "particules subatomiques" dans sa théorie du tout.
A leur tour, ces particules triangulaires constituées des trois jambes (comme nous
peut ressembler à des quarks), mais ces jambes ne sont généralement jamais séparées. ils
Les triangles rectangles qu'il a choisis comme particules de base sont de deux types. un
est "1.1,"triangle unilatéral formé par
couper un carré en deux et l'autre est "1.2,"triangle formé en coupant
un triangle équilatéral en deux. Il a utilisé ces derniers pour construire ses visages
quatre premiers solides, mais curieusement, il a non seulement pris deux ensemble, il a utilisé
sexe "1.2,

triangles pour faire une face triangulaire, et quatre "1.1,"triangles pour en faire un
face carrée, comme indiqué ci-dessous.

Bien sûr ce n'est pas possible
pour construire un pentagone à partir de ces deux types de base de triangles droits, et Platon
pas vraiment élaborer sur la façon dont les visages du dodécaèdre devrait être
construit, mais à partir d'autres sources, nous savons qu'il pensait que chaque visage devrait
composé de 30 triangles droits, probablement comme indiqué à droite
dessus, de sorte que le dodécaèdre se compose de 360 ​​triangles. tétraèdre,
octaèdre et icosaèdre composé de 24, 48 et 120 triangles (hors
type 1,2)
L’hexaèdre était composé de 24 triangles (de type 1.1,).

Maintenant, si les triangles de base
étaient les particules subatomiques, Plato a considéré les solides comme
"atomes" ou corps de diverses formes. en
En particulier, il a fait les identifications suivantes

L'idée de tous les ingrédients
par nature est constitué de mélanges d’un petit nombre d’éléments, et
notamment le choix des quatre éléments dans le sol, l’eau, l’air et
feu, attribué à un ancien philosophe grec Empedocles of Agrigentum
(495-435 av. J.-C.). Les Empedocles croyaient que même si ces éléments (comme lui
appelé "les racines de toutes choses") pourraient être mélangés ensemble
proportions différentes, les éléments eux-mêmes étaient inoffensifs et ne pourraient jamais
être changé. En revanche, l’un des aspects fascinants de la théorie de Platon était
qu'il pensait qu'il était possible que les particules subatomiques se séparent et
combiner à d'autres types d'atomes. Par exemple, il croyait qu'un
corps liquide, composé de 120 triangles "type 1", peut être
décomposé en cinq cellules sanguines, ou en deux parties du corps de gaz et
un de plasma. Il croyait également que les "petits" corps
pourrait fusionner dans de plus grands corps afin que (par exemple) deux atomes de plasma
pourrait fusionner et former un seul atome de gaz. Mais depuis les triangles de base
faire de la "terre" (cubes) est différent des autres
Formes de substance, il a affirmé que les triangles constitués de dés ne peuvent pas être
combinés dans certaines des autres formes. Si une partie de la terre se trouvait être
rompus dans leurs triangles constants, ils "conduiront –
si elle se brise dans le feu lui-même, ou dans beaucoup d'air ou d'eau
– Les parties se retrouvent quelque part, assieds-toi et reste ensemble
la terre encore ".

Quand Platon le réclame (1.1,) Les triangles ne peuvent pas
Combiner dans autre chose qu'un dés, il est concevable qu'il a basé cette
sur quelque chose de plus comme juste la différence géométrique entre ce triangle
et le (1.2,)
Triangle. Il aurait également pu penser à un concept de
Héritabilité des magnitudes et non seulement avec l'appareil 1 mais avec
à part. En fait, le même Théétète qui a donné le premier compte complet à
Les cinq solides "platoniques" sont également connus pour reconnaître
en général, la racine carrée d'un entier non carré est irrationnelle, ce qui
est irresponsable avec le dispositif 1. Ce n'est pas clair à propos de Theaetetus
(ou Platon) savait que deux racines carrées comme et est également incontinent avec chaque
Karl Popper (dans sa polémique anti-Platon "La société libre et
son ennemi ") a spéculé que cela aurait pu être connu, et que
Le choix de Platon de ces deux triangles comme composants de base de sa théorie était
tentative de fournir la base (au sens mathématique) de toutes les possibilités
numéros. En d'autres termes, l'idée de Popper est que Platon réfléchit bien
numéro 1, ,
et est
mutuellement inconciliables, mais il est peut-être possible de tout construire
autres numéros inclus , p,
etc., en tant que fonctions rationnelles de ceux-ci.

Bien sûr, le livre X de Euclid est
Des éléments (voir Prop 42) associent cet espoir, mais il est possible que
Les propositions enregistrées là ont été développées après l'époque de Platon. Popper
aussi faire une grande partie de la contraction numérique + est à peu près égale à pi,
et me demande si Platon aurait pu penser que ces chiffres étaient exacts
égal, mais cela ne me semble pas crédible. D'une part, cela donnerait un
signifie quadriller le cercle, ce qui aurait sûrement été mentionné si
quelqu'un y avait cru. Plus important encore, les idées de base de Théétète étaient
en reconnaissant la symétrie de l'infiniment nombre de carrés irrationnels
Racines, et il semble peu probable que lui (ou Platon) aurait été
trompé de supposer que seuls deux d’entre eux (avec l’unité 1) pourraient
constitue la base de tous les autres. C’est une idée très peu naturelle, une idée qui
peu probable à un mathématicien. (Pourtant, un interprète imaginatif
pourrait probablement distinguer les correspondances entre les quatre vecteurs de base
"Champ platonique", c'est à dire.
numéros sur le formulaire A + B+ C + D et quatre de Platon
éléments, sans parler des composants des quaternions de Hamilton.)

C'est aussi intéressant
Platon décrit "1.1,"triangle le plus
"stable", et le plus susceptible de garder sa forme, et donc comptable
pour la qualité inerte et immuable des éléments solides. Il n'a pas
élaborer sur le critère de "stabilité", bien que nous puissions imaginer
qu'il se souvenait des longueurs presque égales des bords car ils étaient plus proches
à l'équilibre. D'autre part, cela indiquerait que égale
triangle (qui est la face des éléments "moins stables" de Platon) était
très stable. Platon n'a rien fait sur le fait que le cube est réellement
le seul ONUStable solide platonique, sous forme de rigidité des bords
structure. De plus, le cube est le seul solide platonique qui soit pas
une configuration d'équilibre pour ses coins à la surface d'une sphère avec
respect pour un rejet carré inverse. Pourtant, l'idée de stabilité
de la structure subatomique du solide est quelque peu similaire aux comptes modernes de
la stabilité des éléments inertes.

On peut aussi séparer les échos
Les descriptions de Platon dans la théorie corpusculaire d'Isaac Newton. Les commentaires de Newton
si "les côtés" de particules légères rappellent beaucoup
La langue de Platon à Timée. Il est également intéressant de comparer des passages individuels
dans Timaeus, par exemple

Et puis toutes ces choses ont été prises en charge, le vôtre
la nature est déterminée par nécessité dans la façon dont nous avons décrit
artisans du plus parfait et bon parmi les choses qui seront …

avec des phrases dans Newton
Principia, par exemple

… Toute la diversité des choses créées, chacune à sa manière
le lieu et le temps ne pourraient résulter que des idées et de la volonté d’un
nécessairement existant …

… tous les phénomènes peuvent dépendre de certains pouvoirs
comme des particules de corps … soit sont poussés les uns contre les autres et
se bloque dans des formes régulières, ou se repousse et réinitialise …

… Si quelqu'un pouvait travailler avec une précision parfaite, il
serait le mécanicien le plus parfait de tous …

Platon explicitement adressé
Rôle à nécessité dans la conception de l'univers (si bien illustré
Sur les cinq et seulement cinq solides platoniques), autant qu'Einstein le disait toujours
Ce qui l’intéressait vraiment était de savoir si Dieu avait le choix d’établir
monde. Mais Platon n'était pas naïf. Il a écrit

Bien que (Dieu) se soit servi de cela
aides, c’est lui-même qui a donné sa juste conception à tout ce qui
va être. C’est pourquoi il faut distinguer deux types de causes, la cause divine
et le nécessaire. Premièrement, le Divin, que nous devons rechercher en toutes choses
si nous voulons avoir une vie heureuse dans la mesure où la nature le permet,
et deuxièmement, ce que nous devons rechercher
divine. Notre raison est que, sans la nécessité, les autres objets, bien que
En tant que sérieux, nous ne pouvons pas séparer nous-mêmes, et donc ne pouvons pas être
compris ou participé autrement.

Le cinquième élément, à savoir.
La quintessence, selon Platon, a été identifiée au dodécaèdre. il
dit simplement "Dieu a utilisé ce jeûne pour tout l'univers, la broderie
caractères dessus. "Donc, je suppose que c'est une bonne chose pour les triangles de droite
qui se compose de cette quintessence est les flux entrants avec les quatre autres
éléments, puisque nous n'aurions certainement pas la quintessence de l'univers
pour commencer à transmuter dans les bases qui sont elles-mêmes!

Timée contient un très
discussion détaillée de presque tous les aspects de l’existence physique, y compris
biologie, cosmologie, géographie, chimie, physique, croyances psychologiques,
etc., tous exprimés sous la forme de ces quatre éléments de base et de leurs
transmutations de l'un à l'autre en utilisant les parties en trois points
sont séparés et réassemblés sous d'autres formes. Globalement, c'est très intéressant
et une théorie impressionnante, et étonnamment similaire dans son combinatoire (et
aspects numérologiques à certaines théories spéculatives modernes de
tout, ainsi que d'exprimer des idées qui ont des collègues évidents
dans la théorie moderne de la chimie et la table des éléments de la période, etc.
sur.

Timée conclut

Et maintenant, nous pouvons dire que notre compte hors
L'univers est arrivé à sa conclusion. Ce monde a reçu et vidé
avec des êtres vivants, mortels et immortels. Un être vivant visible qui contient
des choses visibles et un Dieu visible, l'image de la vie compréhensible
Les choses. Sa grandeur, sa gentillesse, sa beauté et sa perfection sont inégalées. Notre un
univers, en fait le seul de ce type, est devenu.

Les détails spéculatifs de
Le "projet de loi de l'univers" de Platon n'est pas particulièrement satisfaisant
le point de vue moderne, mais il ne fait aucun doute que – du moins dans la portée
et l'ambition comme une tentative de représenter "tout ce qui est" quand il s'agit d'un
petit nombre d'opérations mathématiques simples – la théorie de Platon
tout "a laissé une impression durable sur la science occidentale.

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Les robustes de Platon sont des formes qui déterminent partie de la forme sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées dans les pays entier pendant plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. nIls sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du volume de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. nLes quatre premières formes conviennent aux composants : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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