Double polyèdre – de Wolfram MathWorld | solides de Platon spirituel







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Selon le principe de dualité, il existe pour chaque polyèdre un autre polyèdre dans lequel les faces et
les sommets de polyèdre occupent des emplacements complémentaires.
Ce polyèdre est appelé double ou réciproque.
Le processus de prise en double est également appelé représailles,
ou l'examen du fil polaire. Brückner (1900) a été l’un des premiers à donner une idée précise
Définition de la dualité (Wenninger 1983, p. 1).

Commencez avec n'importe quel polyèdre, le double de son double est le polyèdre d'origine.

Tout polyèdre peut être attaché à une seconde figure (abstraite, combinatoire, topique) où les verticales de l’une correspondent aux faces de l’autre et les arêtes séparant les paires d’extrémités correspondent aux arêtes séparant les paires de faces de l’autre. Même lorsqu'une paire de polyèdres ne peut pas être obtenue par réciprocité, ils peuvent être qualifiés de duels (abstraits, combinatoires ou topologiques) les uns des autres, à condition que les croix de l'un correspondent aux faces de l'autre et que leurs arêtes correspondent au bord de l'autre de manière préventive. Cependant, tous ces juges ne sont pas des polyèdres géométriques.

La double opération sera mise en œuvre dans une future version de wolfram
langue
qui DualPolyhedron.

DualConstruction1 DualConstruction2

Le double d'un solide platonique, d'un solide armé, voire d'un polyèdre uniforme
peut être calculé en reliant les centres des pages entourant chaque polyèdre
sommet
(figure de sommet, figure de gauche), et
construire le polygone tangentiel correspondant
(tangente au cercle circonscrit de sommet
figure
; bonne figure). Ceci est parfois appelé la construction Dorman-Luke
(Wenninger 1983, p. 30; Cundy et Rollett 1989, p. 117). Dorman Luke est
la construction ne peut être utilisée que lorsqu'un polyèdre a un tel point central et que le sommet est cyclique.

Selon Cundy et Rollett (1989, p. 79), les lignes polaires sont perpendiculaires dans la direction opposée et, pour un choix de rayon approprié, elles peuvent être croisées.
C’est la position la plus intéressante où des polyèdres mutuels peuvent être placés,
avec chaque bord d'un angle de croisement (et généralement aussi le point milieu)
le bord correspondant de l'autre. En fait, de nombreux attrayants polyèdre
composés
formé de cette façon.

Le double polyèdre d'un solide platonique ou d'un solide arkimédique peut également être dessiné par construction polyèdre
bords
tangente à la mi-sphère (parfois trop
connu sous le nom réciproque ou intersphere) qui est perpendiculaire
pour les bords d'origine polyeder. De plus,
la r être rayon
du double polyèdre (qui correspond à l'insert,
qui touche les faces du double solide), rho être midradius
du polyèdre et de son dual (correspondant à la sphère intermédiaire,
qui touche les bords du polyèdre et de ses duels), et R le circumradius
(qui correspond à la circonférence du solide
qui touche les coins du solide). Depuis le périmètre
et intérieur sont deux avec l'autre, r, Ret rho obéir à polaire
relations

    Rr = rho ^ 2

(Cundy et Rollett 1989, tableau II, p. 144).

DualsPlatonicSolids

Le processus de formation de doublons à travers l'examen du fil par rapport aux sphères intermédiaires est illustré ci-dessus pour les solides platoniques. ils
la ligne du haut montre les solides d'origine. La rangée du milieu montre les en-têtes à
original fixé sous forme de lignes posées sur les polygones tangentiels le formant en conséquence
zones. Enfin, les composés polyédères consistent
polyèdre et ses deux sont illustrés dans
rangée du bas.

Pour un solide archimédien avec v sommets, fa visages et e bords, double
polyeder a fa sommets, v visages et e bords. Le double d’un solide isogonal (c’est-à-dire tout
les sommets sont identiques) est isohèdre (toutes les faces sont égales) (Wenninger 1983, p. 5).

Le double d'un polyèdre unilatéral non convexe est une forme stellaire de la coque convexe du type donné.
polyèdre (Wenninger 1983, pp. 3-4 et 40).

Pour un solide platonique ou arkimédique, le rapport du volume du solide au double est le même que le rapport
de la surface du solide et de son double, propriété remarquée pour la première fois par Apollonius
pour le dodécaèdre et l'icosaèdre.

Le tableau suivant répertorie les duels de solides platoniques et de solides de Kepler-Poinsot, ainsi que
avec les noms des composés doubles polyeder.
(Notez que les plaques des solides platoniques sont
même les solides platoniques, donc pas de nouveaux solides sont
formé en prenant des duals de solides platoniques.)

Les doubles peuvent également être pris avec d'autres polyèdres, y compris les solides arkimédiens et les solides uniformes. Les noms de certains solides et de leurs duels sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Lorsqu'un polygone avec le symbole de Schläfli P, q, r et ses deux sont en commun
positions, les sommets de P, q, rles frontières
polyèdre peut être trouvé en sélectionnant les sommets de P, q, r le plus proche
à chaque sommet désactivé R, q, p.


Un solide de polyèdre doit avoir toutes les faces planes ( par exemple, des solides de Platon, des prismes et des pyramides ), tandis qu’un solide non polyèdre a au moins une de ses étendue qui n’est pas plate ( par exemple, barillet, sphère ou cône ). n Régulier sous-entend que tous les angles sont de la même mesure, toutes les faces sont de formes congruentes ou semblables dans tous les aspects, et tous les rives sont de la même longueur. n 3D sous-entend que la forme a la largeur, la profondeur et la hauteur. n Un polygone est une forme fermée dans une figure plane avec au moins cinq bords droits. n Un duel est un solide de Platon qui s’adapte à l’intérieur d’un autre solide de Platon et se connecte au point médian de chaque face. n

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