Solid de Platon – Wikipedia Géometrie sacrée

En géométrie euclidienne, un Solide platon est un polyèdre commun et convexe. Entre les plans polygonaux réguliers et convexes et les polyèdres convexes à espace tridimensionnel commun, il existe une analogie, mais aussi une différence remarquable. Les polygones convexes communs sont infiniment nombreux, leur nombre de côtés est un entier supérieur ou égal à trois. D'autre part, il n'y a que cinq solides platoniques.

Le nombre de faces du solide, 4, 6, 8, 12 ou 20, se trouve dans le préfixe du nom du solide: tétra pour quatre hexa pour six – un dé est un hexaèdre régulier -, OCTA pour huit, dodéca pour douze ICOS pour vingt. L'adjectif "commun" sera souvent implicite sur cette page(1).

Depuis les mathématiques grecques, les solides de Platon étaient un sujet d'étude des géométries en raison de leur esthétique et de leurs symétries. Leur nom, honoré par le philosophe grec Platon, rappelle l'une de ses théories, qui unit quatre d'entre elles aux quatre éléments de la physique ancienne.

Selon une étude, les peuples néolithiques d’Écosse ont construit des modèles en pierre des «cinq solides» au moins 1 000 ans avant Platon (Atiyah et Sutcliffe 2003). Ces modèles sont conservés au Ashmolean Museum à Oxford. Mais cette conclusion est prématurée(2).

Dans l'histoire des mathématiques grecques anciennes, on peut retracer la chronologie suivante. Les Pythagore avaient une connaissance empirique de trois solides: le tétraèdre (la pyramide), l'hexaèdre (le cube), le dodécaèdre (douze faces). Selon Proclos, Pythagore lui-même (environ 530 av. J.-C.) aurait connu ces solides. Mais ce pourrait être son disciple Hippase de Metaponte (qui aurait construit le premier dodécaèdre) ou, plus vraisemblablement, Archytas de Tarente (environ 360 ans av. J.-C.).(Réf. Requis)

Il n'y a aucune mention de la pyramide avant Démocrite (fragment 155), actif vers 430 av. Archytas aurait d'abord construit le cube pour résoudre le problème de la duplication du carré. Le premier, Platon mentionne le Dodécaèdre, dans Phédon (110b), qui provient d'env. 383 av. Mathématiques Théétète d'Athènes (décédé en 395 ou 360 av. J.-C.) a découvert les deux autres solides: l'octaèdre et l'icosaèdre; en particulier, il les a construits, le premier, tous les cinq(3).

Les solides de Platon jouent un rôle crucial dans la philosophie de Platon, à partir de laquelle ils ont été appelés. Platon, en dialogue Timée (environ 358 av. J.-C.), reliait chacun des quatre éléments (terre, air, eau et feu) à un solide régulier. La Terre était attachée au cube (Timée, 55d), Air avec octaèdre, Eau avec icosaèdre et Feu avec tétraèdre. C’était une justification pour ces associations: la chaleur du feu semble pointue et ressemble à un poignard (comme un petit tétraèdre). L'air est fait d'octaèdre; Les petits composants sont si mous qu'il est difficile de les sentir. L'eau, l'icosaèdre, s'échappe de la main prise comme s'il s'agissait de petites balles. Le solide le plus stable, l'hexaèdre (cube), représente la terre. Ces petits solides produisent de la poussière lorsqu'ils s'effondrent et se cassent lorsqu'ils sont saisis, ce qui constitue une grande différence par rapport au faible écoulement de l'eau. Cinquièmement, à Platon, le prince dodéka n’était pas clair: "le dieu arrangeait les constellations dans le ciel". Platon a mis le Dodécaèdre en correspondance avec Allen (Phédon110b; Timée, 55c), car c’est le solide qui ressemble le plus à la sphère. Aristote a appelé ce cinquième élément, Aithar (éther en latin "mange" en français) et postulait que l'univers était fait de cet élément et qu'il était essentiel pour tous les autres de le contenir tous.

Speusippus, le successeur de Platon à l'Académie (en 348 av. J.-C.) répète la tradition pythagore des cinq solides (Pythagore, Hippasus, Archytas).

Euclid a donné une description mathématique complète des solides de Platon dans articles (environ 300 avant JC); le dernier livre (Livre XIII) consacré à leurs caractéristiques. Les propositions 13 à 17 du livre XIII décrivent la construction de tétraèdre, octaèdre, cube, icosaèdre et dodécaèdre dans cet ordre. Euclid trouve pour chaque solide le rapport du diamètre à la balle limité à la longueur du bord. Dans la proposition 18, il soutient qu'il n'y a plus de polyèdres convexes communs. En fait, pour être commun, un polyèdre doit avoir le même nombre de polygones fixes à chacun de ses angles et la somme des angles au sommet des polygones communs doit être strictement inférieure à 360 ° (voir la preuve).(4)). Une grande partie de l'information contenue dans le livre XIII provient probablement du travail de Theaetetus.

la XVIe siècle, l’astronome allemand Johannes Kepler a tenté de trouver une relation entre les cinq planètes connues à cette époque (à l’exception de la Terre) et les cinq solides de Platon. en Mystographic Cosmographicum, publié en 1596, Kepler présenta un modèle du système solaire où les cinq solides étaient liés les uns aux autres et séparés par une série de sphères inscrites et réécrites. Les six balles correspondaient chacune aux planètes (Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides étaient ordonnés de l'intérieur vers l'extérieur, le premier étant l'octaèdre, suivi de l'icosaèdre, du dodécaèdre, du tétraèdre et enfin du cube. De cette manière, la structure du système solaire et la relation entre les distances entre les planètes ont été dictées par les solides platoniques. Vers la fin, l'idée originale de Kepler a été abandonnée, mais de cette enquête, les solides de Kepler ont été découverts et ont révélé que les orbites de la planète ne sont pas des cercles et qu'il connaît maintenant les lois du mouvement planétaire de Kepler.

Chaque solide de Platon répond à la formule d'Euler(4), démontrée en 1752 par le mathématicien suisse Leonhard Euler, obtenue avec un nombre F de faces, A avec arêtes et S d’angles: F + S – A = 2

Un polyèdre convexe est un solide platonique si et seulement si

  1. Toutes les faces sont des polygones communs isométriques convexes, c’est-à-dire supérieurs,
  2. Aucune des faces n'est coupée sauf sur les bords
  3. Le même nombre de faces se retrouve sur chacun de ses coins.

Chaque Platon peut donc être désigné par un symbole p, q

p = nombre de côtés de chaque face (ou nombre de coins sur chaque face) et
q = nombre de faces se rencontrant à chaque sommet (ou nombre d'arêtes se rencontrant à chaque sommet).

Le symbole p, q, appelé symbole Schläfli, donne une description combinatoire du polyèdre. Les symboles Schläfli des cinq solides de Platon sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Toutes les autres informations combinatoires sur ces solides, telles que le nombre total de croisements (S), bords (un) et des visages (fa) peut être déterminé à partir de p et q. Puisque chaque bord est attaché à deux coins et a deux faces adjacentes, nous devons avoir:

L’autre relation entre ces valeurs est donnée par Formule d'Euler:

Ce fait non négligeable peut être démontré de nombreuses manières différentes (i La topologie algébrique découle de ce fait qu'Euler est caractéristique de la sphère 2). Ensemble, ces trois relations déterminent complètement S, un et fa :

Ceci s’exprime parfois de manière plus pratique quand il s’agit de tangente de

le montant h sont respectivement 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre.
en d'autres termes

4h=15+(2(p+q)11)2style d'affichage 4h = 15 + (2 (p + q) -11) ^ 2

.

angle d'erreur (I) au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles d'une face et 2π. Le défaut, δ, à chaque coin des coins du peloton p, q est

de Théorème de Descartes, il est égal à 4π divisé par le nombre de croix (la valeur totale de toutes les croix est de 4π).

L'analogue tridimensionnel d'un angle de plan est un angle solide. L'angle fixe, Ω, au-dessus d'un solide platonique est donné sous la forme de l'angle dièdre avec

Cela vient de la formule desurplus sphérique (I) pour un polygone sphérique et le fait que le sommet du polygone est p, q est un q-Font commune.

Les différents angles associés aux solides de Platon sont donnés ci-dessous. Les valeurs numériques pour les angles fixes sont données en stéradians. la constante

φ=(1+5)2style varphi = frc (1 + crt 5 2}

est nombre d'or.

polyèdre angle d'
erreur d'angle (I) Angle solide
tétraèdre 70,53°
cube 90°
octaèdre 109,47°
dodécaèdre 116,56°
icosaèdre 138,19°

Rayons, surfaces et volumes(changement | changer le code)

Une autre vertu de la régularité est que les solides de Platon ont tous trois sphères concentriques:

Les rayons de ces sphères s'appellent rayons limités, il rayons moyens et rayons intérieurs. Ce sont les distances entre le centre de l'expédition hôte et les points médians du dos et du centre des visages. Le rayon limité R et le rayon intérieur r solide p, q avec une longueur d'arête a est dégagé

où θ est l'angle dièdre. Le rayon moyen p est donné par

h est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (h = 4, 6, 6, 10 ou 10). Notez que le rapport du rayon entourant le rayon intérieur est symétrique en p et q :

la zone un d'un solide platoniquep, q} est facile à calculer, c’est la surface d’un p– nombre normal de visages fa. C'est:

la le volume est calculé comme étant fa fois le volume de la pyramide dont la base est un p-gon régulier et dont la hauteur est le rayon intérieur r. C'est:

Le tableau ci-dessous montre les différents rayons des solides de Platon et leurs zones un et leurs volumes V, et deux taux de remplissage: le ratio de ces volumes V et ils VS = 4πR3/ 3, de la sphère limitée et Vs = 4πr3/ 3, de la sphère enregistrée. La taille totale est fixée en prenant la longueur du bord, a, égal à 2.

polyèdre
(a = 2)
r ρ R un V V/VS(5) Vs/V(6)
tétraèdre
cube
octaèdre
dodécaèdre
icosaèdre

Les constantes φ et ξ ci-dessus sont émises

Parmi les solides platoniques, le dodécaèdre ou icosahedron peut être considéré comme la meilleure approche de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces, le plus grand angle dièdre et l'enveloppe est la plus proche de la sphère inscrite. Le dodécaèdre, en revanche, a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle solide au sommet, et il remplit le plus sa sphère circonférentielle.

Double polyeder(changement | changer le code)

Chaque polyèdre a un double polyèdre à faces et angles alternés. Le double de chaque solide platonique est un autre solide platonique, c'est-à-dire que nous pouvons organiser les cinq solides en deux paires.

  • Le tétraèdre est auto-dual (c'est-à-dire que son dual est un autre tétraèdre).
  • Le cube et l'octaèdre forment une double paire.
  • Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une double paire.

Si un polyèdre a un symbole Schläfli p, q, son double a donc le symbole q, p. En fait, chaque propriété de combinaison d'un solide platonique peut être interprétée comme une autre propriété combinatoire du double.

Groupes de symétrie(changement | changer le code)

En mathématiques, le terme symétrie est étudié avec le terme groupe mathématique. Chaque polyèdre a un groupe de symétrie associé, qui est l'ensemble de toutes les transformations (isométries euclidiennes) quittant le polyèdre invariant. L'ordre du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. Il est souvent séparé groupe de symétrie totale, qui inclut les réflexions, et groupe de symétrie, qui ne comprend que les rotations.

Les groupes symétriques de solides platoniques sont appelés groupes polyédriques (I) (qui est une classe spéciale de groupes de notation en trois dimensions (I)). Le degré élevé de symétrie des solides de Platon peut être interprété de différentes manières. Plus important encore, les sommets de chaque sommet sont égaux à l'effet du groupe de symétrie, de même que les arêtes et les faces. On dit que l'action dans le groupe de symétrie est transitive sur les coins, les arêtes et les faces. En fait, c’est une autre façon de définir la régularité d’un polyèdre: un polyèdre est commun si et seulement si elle a un sommet uniforme, un bord uniforme et une face uniforme.

Il n'y a que trois groupes de symétrie associés à des solides platoniques au lieu de cinq, car le groupe de symétrie de tout polyhèdre coïncide avec celui de son double. Ceci est facile à voir en examinant la construction du double polyèdre. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie de dual et vice versa. Les trois groupes polyédriques sont:

Les ordres pour les bons groupes (les rotations) sont respectivement 12, 24 et 60, soit juste deux fois plus d’arêtes dans le polyèdre correspondant. Les ordres des groupes de symétrie totaux sont le double des ordres précédents (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une déduction de ces faits.

Le tableau ci-dessous montre les différentes propriétés de symétrie des solides de Platon. Les groupes avec symétrie répertoriés sont les groupes totaux avec sous-groupes de rotation indiqués entre parenthèses (comme pour le nombre de symétries). La construction kaléidoscopique de Wythoff est une méthode de construction de polyèdres directement à partir de groupes de symétrie. Nous montrons la référence au symbole de Wythoff pour chaque solide platonique.

Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre ont tous une apparence naturelle dans les structures cristallines. Celles-ci ne dispensent pas le nombre de formes possibles de cristaux. Néanmoins, ni l'icosaèdre habituel, ni le dodécaèdre habituel ne sont parmi eux. L'une de ces formes, appelée pyritoïde (nommée en fonction du groupe de minéraux pour lequel elle est typique), a douze faces pentagonales, disposées selon le même motif que les faces du dodécaèdre commun. Néanmoins, les visages des pyritans ne sont pas communs, de sorte que ce n'est pas non plus un pyritope qui est commun.

Circogonia icosahedra, une espèce de radiolaire, formé comme un icosaèdre commun.

Au début de XXe siècle Ernst Haeckel décrit(7) de nombreuses espèces radiolaires, certaines avec des squelettes sous la forme de divers polyèdres communs. Ses exemples incluent Sirkoporus octaèdre, Icosahedra de Circogonia, Lithocubus geometricus et Dodécaèdres de Circorrhegma, les images de ces créatures sont évidentes de leurs noms.

De nombreux virus, tels que les virus de l'herpès, se présentent sous la forme d'un isochédron commun. Les structures virales sont construites sur des sous-unités de protéines répétées identiques, et l'icosahédron est la forme la plus simple à assembler à l'aide de ces sous-unités. Un polyèdre commun est utilisé car il peut être construit à partir d'un fragment protéique basique utilisé indéfiniment, créant ainsi une place dans le génome viral.

En météorologie et en climatologie, les modèles numériques globaux de flux atmosphériques présentent un intérêt croissant. Ils utilisent des shakes basés sur un icosaèdre (triangulation raffinée) au lieu de la latitude / longitude plus communément utilisée. Cela présente l’avantage d’avoir une résolution spatiale également distribuée sans singularités (c’est-à-dire des pôles géographiques) au détriment de certaines difficultés numériques majeures.

Géométrie des cadres (I) est souvent basé sur les solides de Platon. Dans le système MERO, les solides Plato sont utilisés pour la convention de nomenclature de diverses configurations d'amplification de la pièce. Par exemple, ½ O + T fait référence à une configuration composée d’un halo octaédrique et d’un tétraèdre.

Les solides de Platon sont souvent utilisés pour fabriquer des cubes. Les dés à 6 faces sont très courants, mais d'autres numéros sont souvent utilisés dans les jeux de rôle. Ces cubes sont souvent appelés dnn est le nombre de faces (d8, d20, etc.);

Ces personnages apparaissent souvent dans d'autres jeux ou puzzles. Des casse-tête Rubik's Cube similaires sont venus jouer sous toutes ces formes – voir Casse-tête combinatoire (I).

Polyèdres uniformes(changement | changer le code)

Il existe quatre polyèdres non convexes communs appelés solides de Kepler-Poinsot. Celles-ci ont toutes une symétrie icosaédrique et peuvent être atteintes par des stellations du dodécaèdre et de l'icosaèdre.

Le polyèdre convexe le plus commun après les solides de Platon est le cuboctaèdre, qui est une correction (I) du cube et de l'octaèdre et de l'icosidodécaèdre, qui est une correction du dodécaèdre et de l'icosaèdre (correction du polyèdre auto-dual, le tétraèdre est une octaèdre commune). Ils sont tous les deux presque régulier ce qui signifie qu'ils ont un sommet et une arête uniformes et qu'ils ont des faces régulières, mais que les faces ne sont pas toutes isométriques (proviennent de deux classes différentes). Ils forment deux des treize solides d'Archimède, polyèdres convexes et uniformes à symétrie polyhédrale.

Les polyèdres uniformes forment une classe de polyèdres beaucoup plus large. Ces solides sont des verticales uniformes et un ou plusieurs types de polygones communs (convexe ou étoile) pour les faces. Ceux-ci incluent tous les polyèdres susmentionnés avec l'infini jeu de prismes, l'infini ensemble d'antiprismes et 53 autres formes non convexes.

Les solides de Johnson sont des polyèdres convexes qui ont des faces solides mais qui ne sont pas uniformes.

PAVAGE(changement | changer le code)

Les trois dessins communs du plan sont fortement liés aux solides de Platon. En fait, on peut considérer les solides de Platon comme les cinq mosaïques communes de la sphère. Ceci est fait en projetant chaque solide sur une sphère concentrique. Les faces faisant saillie des sphères polygonales à l’axe exact. Sur vitrine de chaque pavage, les sphères de caractéristiques s’apparient aux entités p, q avec 1 /p + 1 /q > 1/2. Le même, un pavage régulier du plan est caractérisé par la condition 1 /p + 1 /q = 1/2. Il existe trois possibilités:

C’est la seule chose qui est considérée comme plus importante en ce qui concerne le plan hyperbolique. Ils sont caractérisés par la condition 1 /p + 1 /q <1/2. Il y a un nombre infini de pavages.

Dimensions plus élevées(changement | modificateur le code)

Lorsqu’on a ajouté trois dimensions, les polyèdres se généralisent aux polytopes. Dance le milieu du XIXe siècle, le mathématicien suisse Ludwig Schläfli découvrit les analogues quadridimensionnels des solides de Platon, dit les 4-polytopes réguliers convexes. Il exact exactement six chiffres chiffres; Cinq sont analogues aux solides de plat, tandis que le six cellules, le 24 cellules, passent l'analogue et la dimension inférieure.

Les dimensions plus les quatre, l'ex-règlement, les régulateurs de polytopes convexes: le simplexe, l'hypercube et l'hyperoctaèdre. En trois dimensions, ceux-ci coïncident avec tétrédre, le cube et l'octaèdre.

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Articles connexes(changement | modificateur le code)

Bibliographie(changement | modificateur le code)

  • Platon, heure (verset 358 de J.-C.), 55e-56c. Trad. L. Brisson, Temps / CritiGarnier-Flammarion 3° Ed. revue 1996
  • Euclide, éléments (verset 300 par. J.-C.), livre XIII. Euclide, Les Éléments, volume IV, livre XI-XIII, Géométrie des solides; Trad. vous envoyez à Heiberg un couple de commentaires, Bernard Vitrac. Paris: Presses universitaires de France, 2001. (Bibliothèque d'histoire des sciences). 482 p. (ISBN 2-13-051927-X)

Liens externes(changement | modificateur le code)

Les robustes de Platon sont des formes qui font partie de la géométrie sacrée. Ils ont d’abord été catalogués par l’ancien philosophe Platon ( d’où leur nom ), bien que des preuves de ces formes les plus magiques aient été trouvées sur la planète entier pendant plus de 1 000 ans avant la documentation de Platon. Ils sont constitués des’Cinq Polyèdres Réguliers Convexes’ : hexaèdre ( cube ), octaèdre ( double pyramide inversée ), tétraèdre ( pyramide ), Icosoèdre et dodécaèdre. Les noms sont dérivés du nombre de côtés de chaque forme : 4, 6, 8, 12 et 20 respectivement. Les quatre premières formes conviennent aux composants : la terre ( hexaèdre ), l’air ( octaèdre ), le feu ( tétraèdre ) et l’eau ( Icosoèdre ), la cinquième, dodécaèdre, représentant le ciel, l’éther ou l’Univers.

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