Polyèdre – Wikipedia | solides de Platon

En géométrie, un polyèdre (pluriel polyèdres ou polyèdres) est un solide en trois dimensions avec des surfaces polygonales plates, des bords droits et des angles vifs. Le mot polyèdre vient du grec classique πολύεδρον, qui poly- (souches de πολύς, "many") + -hedron (forme de ἕδρα, "base" ou "siège").

Un polyèdre convexe est la coque convexe de nombreux points, pas tous sur le même plan.
Les cubes et les pyramides sont des exemples de polyèdres convexes.

Un polyèdre est un exemple tridimensionnel du polytope plus général dans un nombre quelconque de dimensions.

définition(éditer)

Les polyèdres convexes sont bien définis, avec plusieurs définitions standard équivalentes. Cependant, la définition mathématique formelle des polyèdres, qui n'est pas nécessairement convexe, pose problème.
De nombreuses définitions de "polyèdre" ont été données dans certains contextes,(1) un peu plus strictes que d’autres, et il n’existe pas d’accord universel sur lequel choisir.
Certaines de ces définitions excluent les formes qui sont souvent considérées comme des polyèdres (en tant que polyèdres à croisement automatique) ou incluent
formes qui ne sont souvent pas considérées comme des polyèdres valides (par exemple, les solides dont les limites ne sont pas des variétés). Comme l'a noté Branko Grünbaum,

"Le péché originel dans la théorie des polyèdres remonte à Euclide et, par le biais de Kepler, Poinsot, Cauchy et bien d'autres … à chaque étape … les auteurs n'ont pas défini ce qu'est le polyèdre".(2)

Néanmoins, il est généralement admis qu'un polyèdre est un solide ou une surface pouvant être décrite par ses angles (angles), ses arêtes (segments de droite reliant certaines paires de points).
faces (polygones à deux dimensions), et parfois à leur volume intérieur en trois dimensions.
On peut différencier ces différentes définitions selon qu’elles décrivent le polyèdre comme un solide, qu’elles le décrivent comme une surface ou qu’elles le décrivent plus abstraitement en fonction de la géométrie de leur occurrence.

  • Une définition commune et quelque peu naïve du polyèdre est qu’il s’agit d’un solide dont la limite peut être couverte par de nombreux avions(3)(4) ou qu’il s’agit d’un composé solide de très nombreux polyèdres convexes.(5) Les améliorations de la nature de cette définition requièrent que le solide soit restreint, qu’il ait un intérieur connecté et éventuellement aussi une limite connectée. Les faces d'un tel polyèdre peuvent être définies comme les composants liés des parties de contour dans chacun des plans qui le couvrent, ainsi que les arêtes et les intersections des segments de ligne et des points où les faces se rencontrent. Cependant, les polyèdres définis de cette manière n'incluent pas de polymère étoilé à croisement automatique, leurs faces ne peuvent pas former de polygones simples et certaines arêtes peuvent appartenir à plus de deux faces.(6)
  • Les définitions basées sur l'idée d'une surface de bordure plutôt que d'un solide sont également courantes.(7) Par exemple, R & D (1993) définit un polyèdre comme une association de polygones convexes (ses faces) disposés dans l'espace de sorte que l'intersection de deux polygones soit un sommet ou une arête scindé ou un ensemble d'éléments bruts et que leur union soit une variété.(8) Si une partie plane d'une telle surface n'est pas elle-même un polygone convexe, R & A exige qu'elle soit divisée en polygones moins convexes, séparés par des angles dièdres plats. Quelque chose définit plus généralement celui de Grünbaum polyèdre optique étant une collection de polygones simples qui forment un collecteur intégré, chaque événement de sommet ayant au moins trois arêtes et chacune des deux surfaces se croisant uniquement dans les angles et les arêtes divisées de chaque.(9) Cromwell fournit une définition similaire, mais sans limiter trois arêtes par sommet. Encore une fois, ce type de définition n'inclut pas les polyèdres à auto-croisement.(10) Des termes similaires constituent la base des définitions topologiques des polyèdres, tels que les subdivisions d'une variété topologique en disques topologiques (faces) dont les parvocations doivent être des points (points), des arcs topologiques (arêtes) ou l'ensemble vide. Cependant, il existe des polyèdres topologiques (même avec tous les triangles du visage) qui ne peuvent pas être réalisés en tant que polyèdre optique.(11)
  • Une approche moderne est basée sur la théorie du polyèdre abstrait. Ceux-ci peuvent être définis comme des ensembles partiellement ordonnés si les éléments sont des angles, des arêtes et des surfaces d'un polyèdre. Un sommet ou un élément d'arête est plus petit qu'un élément d'arête ou de face (dans cet ordre partiel) lorsque le sommet ou l'arête fait partie de l'arête ou de la face. De plus, on peut inclure un membre inférieur particulier de cette séquence partielle (représentant l'ensemble vide) et un membre supérieur représentant l'ensemble du polyèdre. Si les parties de l’ordre partiel situées entre les éléments à trois niveaux (c’est-à-dire entre chaque face et l’élément inférieur et entre l’élément supérieur et chaque sommet) ont la même structure que la représentation abstraite d’un polygone, ces ensembles partiellement ordonnés portent exactement les mêmes informations qu’un seul. polyèdre topologique. Cependant, ces exigences sont souvent assouplies, de manière à n'exiger que des parties entre des éléments situés à deux niveaux séparés aient la même structure que la représentation abstraite d'un segment de ligne.(12) (Cela signifie que chaque arête contient deux angles et appartient à deux faces et que chaque sommet d'une face appartient à deux arêtes de cette face.) Les polyèdres géométriques définis d'une autre manière peuvent être décrits de manière abstraite de cette manière, mais il est également possible d'utiliser des expressions abstraites. polyèdre comme base pour une définition du polyèdre géométrique. FR réalisation d’un polyèdre abstrait est généralement considéré comme une représentation cartographique des angles du polyèdre abstrait par des points géométriques, de sorte que les points de chaque face soient parallèles. Un polyèdre géométrique peut alors être défini comme la réalisation d’un polyèdre abstrait.(1. 3) Les réalisations qui renoncent à l'exigence de planéité, qui imposent des exigences supplémentaires en matière de symétrie ou qui mappent des verticales vers des espaces de dimensions supérieures, sont également prises en compte.(12) Contrairement aux définitions à base solide et à base de surface, cela convient parfaitement aux polymères en étoile. Cependant, sans autres limitations, cette définition autorise les polyèdres dégénérés ou infertiles (par exemple, en cartographiant tous les angles en un seul point) et la question de savoir comment limiter les réalisations pour éviter ces dégénérations n'est pas résolue.

Dans toutes ces définitions, un polyèdre est généralement compris comme un exemple tridimensionnel du polytope plus général dans un nombre quelconque de dimensions. Par exemple, un polygone a un corps en deux dimensions et aucune face, alors qu'un sommet à 4 pôles a un corps en quatre dimensions et un ensemble supplémentaire de "cellules" en trois dimensions.
Cependant, une partie de la littérature sur la géométrie de dimension supérieure utilise le terme "polyèdre" pour désigner autre chose: pas un polytope à trois dimensions, mais une forme qui diffère d'un polytope en quelque sorte. Par exemple, certaines sources définissent un polyèdre convexe qui est l'intersection de beaucoup plus de demi-espaces et un polytope en tant que polyèdre délimité.(14)(15) La suite de cet article ne traite que des polyèdres à trois dimensions.

caractéristiques(éditer)

Nombre de faces(éditer)

Les polyèdres peuvent être classés et souvent appelés en fonction du nombre de faces. Le système de nommage est basé sur le grec classique, par exemple tétraèdre (4), pentaèdre (5), hexaèdre (6), triacontaèdre (30), etc.

Pour obtenir une liste complète des préfixes numériques grecs, voir Préfixes numériques> Tableau avec préfixes numériques en anglais> grec> Quantitatif

Propriétés topologiques(éditer)

La classe topologique d'un polyèdre est définie par ses caractéristiques et son orientation d'Euler.

De ce point de vue, toute surface polyédrique peut être classée comme un type particulier de variété topologique. Par exemple, la surface d’un polyèdre convexe ou même d’un polyèdre à liaison unique est une sphère topologique.

Caractéristique d'Euler(éditer)

La caractéristique d'Euler ir indique le nombre de croix V, bords Eet des visages fa d'un polyèdre:

Ceci est similaire à la caractéristique topologique d'Euler de la surface. Pour un polyèdre convexe, ou plus généralement un polyèdre simple couplé ayant une surface de sphère topologique, x = 2.(16) Pour les formes plus complexes, Euler fait référence à la caractéristique du nombre de trous toroïdaux, de poignées ou de chapeaux croisés sur la surface et sera inférieur à 2.(17)

orientability(éditer)

Bouteille de Klein polyédrique auto-croisée à faces carrées

Certains polyèdres ont deux faces différentes en surface. Par exemple, l'intérieur et l'extérieur d'un modèle en papier polyèdre convexe peuvent chacun avoir une couleur différente (bien que la couleur intérieure soit masquée). Ces polyèdres sont orientables. Il en va de même pour les polyèdres non convexes sans auto-croisement. Certains polyèdres à auto-croisement non convexes peuvent être teints de la même manière, mais les régions sont devenues "internes" de sorte que les deux couleurs apparaissent à l'extérieur à des emplacements différents; ceux-ci sont toujours considérés comme orientables.

Cependant, pour certains autres polyèdres polygonaux simples auto-croisés, tels que tétrahémi hexaèdre, il n'est pas possible de colorer les deux côtés de chaque face avec deux couleurs différentes, les faces adjacentes ayant donc des couleurs cohérentes.
Dans ce cas, le polyèdre est dit unilatéral ou non orientable.
Pour les polyèdres à faces auto-croisées, la signification pour les faces adjacentes de toujours être colorées n’est pas claire. Toutefois, pour ces polyèdres, il est encore possible de déterminer s’il est orientable ou non en considérant un complexe de cellules topologiques ayant les mêmes occurrences entre ses angles. , arêtes et faces.

Tous les polyèdres avec une caractéristique d'Euler x numérotée différemment ne sont pas orientables. Un nombre donné avec même χ <2 peut être ou non orientable. Par exemple, le tore unidirectionnel et la bouteille de Klein ont tous deux 0 = 0, le premier étant orientable et l’autre non.

dualité(éditer)

L'octaèdre est double pour le cube

Pour chaque polyèdre convexe, il existe un double polyèdre qui a

  • visages au lieu des croix d'origine et vice versa, et
  • le même nombre d'arêtes.

Le double d'un polyèdre convexe peut être obtenu par le processus de réciprocité polaire.(18) Le polyèdre dual existe par paires et le dual d’un dual n’est plus que le polyèdre original. Certains polyèdres se dédoublent automatiquement, ce qui signifie que le double du polyéther est congru au polyèdre d'origine.(19)

Les polyèdres abstraits ont également des duals qui confirment également qu'ils ont les mêmes caractéristiques et orientation d'Euler que le premier polyèdre. Cependant, cette forme de dualité ne décrit pas la forme d'un double polyèdre, mais seulement sa structure combinatoire. Pour certaines définitions de polyèdres géométriques non convexes, il existe des polyèdres dont les duals abstraits ne peuvent pas être réalisés en tant que polyèdre géométrique sous la même définition.

Chiffres de sommet(éditer)

Pour chaque sommet, vous pouvez définir une figure hôte décrivant l'emplacement du polyèdre autour du sommet. Les définitions précises varient, mais une figure de sommet peut être conçue comme un polygone exposé où une section à travers le polyèdre coupe un coin.(7) Si la figure de sommet est un polygone commun, on dit que le sommet lui-même est commun.

volume(éditer)

Les solides polyédriques ont une quantité associée appelée volume qui mesure la quantité d’espace qu’ils occupent. De simples familles de solides peuvent avoir des formules simples pour leurs volumes; Par exemple, les volumes des pyramides, des prismes et des pipettes parallèles peuvent être facilement exprimés par rapport à leurs longueurs d'arête ou à d'autres coordonnées. (Voir Volume § Formules de volume pour une liste contenant plusieurs de ces formules.)

Des quantités de polyèdre plus complexes ne peuvent pas avoir de formules simples. Le volume de ce polyèdre peut être calculé en divisant le polyèdre en morceaux plus petits (par exemple par triangulation). Par exemple, le volume d'un polyèdre commun peut être calculé en le divisant en pyramides congruentes, chaque pyramide ayant une surface de polyèdre comme base et le centre du polyèdre comme sommet.

De manière générale, on peut déduire de la norme de divergence que le volume d’un solide polyhédral est dégagé

13|Σfa(QfaNfa)zone(fa)|,,

où la somme est sur les visages fa du polyèdre, Qfa est un point arbitraire sur le visage fa, Nfa le dispositif est le vecteur perpendiculaire à fa points en dehors du solide, et le point de multiplication est le produit scalaire.(20) Étant donné qu'il peut être difficile d'énumérer les faces, le calcul du volume peut s'avérer difficile. Il existe donc des algorithmes spécialisés pour déterminer le volume (la plupart d'entre eux sont généralisés aux polytopes convexes de dimensions supérieures).(21)

Invariant de Dehn(éditer)

En deux dimensions, la théorie de Bolyai-Gerwien affirme que tout polygone peut être transformé en tout autre polygone de la même zone en le découpant en plusieurs morceaux polygonaux et en les réarrangeant. La question analogue du polyèdre était le sujet du troisième problème de Hilber. Max Dehn a résolu ce problème en montrant que, contrairement au cas 2D, un polyèdre de même volume n'existe pas et ne peut pas être coupé en polyèdres plus petits et réassemblé l'un à l'autre. Pour prouver que Dehn a découvert une autre valeur associée à un polyèdre, Dehn peut autoriser la dissection de deux polyèdres de manière invariante uniquement lorsqu'ils ont le même volume et leur invariant. Sydler a démontré plus tard que c’était le seul obstacle à la dissection: chaque polyèdre euclidien de même volume et les invariants de Dehn peuvent être découpés et assemblés.(22) L'invariant de Dehn n'est pas un nombre, mais un vecteur dans un espace vectoriel de dimensions infinies.(23)

Un autre problème de Hilber, le problème de Hilber, concerne entre autres choses les polyèdres que la tuile occupe. Chaque polyèdre de ce type doit avoir le zéro invariant de Dehn.(24) L'invariant de Dehn a également été formellement couplé à des polyèdres flexibles par la forte prémisse du soufflet, affirmant que l'invariant dehn de tout polyèdre flexible doit rester indépendant lorsqu'il est fléchi.(25)

Polyèdre convexe(éditer)

Un solide tridimensionnel est un ensemble convexe s'il contient chaque segment reliant deux de ses points. Un polyèdre convexe est un polyèdre qui, en tant que solide, forme un ensemble convexe. Un polyèdre convexe peut également être défini comme une intersection délimitée de beaucoup plus de demi-espaces, ou comme la coque convexe de nombreux points.

Les classes importantes de polyèdres convexes comprennent les solides platoniques hautement symétriques, les solides archimoniques et leurs doubles solides catalytiques, et les solides de Johnson périodiquement.

symétries(éditer)

La plupart des polyèdres les plus étudiés sont très symétriques, c'est-à-dire que leur apparence n'est pas modifiée par une réflexion ou une rotation de la pièce. Chacune de ces symétries peut changer la position d'un sommet, d'une face ou d'une arête donnée, mais l'ensemble de tous les coins (ainsi que les faces et les arêtes) reste inchangé. L'ensemble des symétries d'un polyèdre s'appelle son groupe de symétrie.

Tous les éléments pouvant être superposés par des symétries forment un chemin de symétrie. Par exemple, toutes les faces du cube se trouvent dans un chemin, tandis que toutes les arêtes se trouvent dans un autre. Si tous les éléments d'une dimension donnée, disons toutes les faces, sont sur le même chemin, la figure est dite transitive sur le chemin. Par exemple, un cube est un transit de face, tandis qu'un cube à capuchon a deux faces symétriques.

La même structure abstraite peut supporter des polyèdres géométriques plus ou moins symétriques. Mais là où un nom polyédéral est donné, tel que. Icosidodécèdre, la géométrie la plus symétrique est presque toujours implicite, sauf indication contraire.(référence nécessaire)

Il existe plusieurs types de polyèdres hautement symétriques, classés par type d'élément – surfaces, arêtes ou angles – appartenant à un seul chemin de symétrie:

  • Régulier: vert-transitif, bord-transitif et facial-transitif. (Cela signifie que chaque face est le même polygone régulier, cela signifie également que chaque sommet est commun.)
  • Quasi commun: vertex-transitif et bord-transitif (et donc des faces régulières), mais pas facial-transitif. Un double quasi-commun est facial-transitif et bord-transitif (et donc chaque sommet est commun), mais pas sommet-transitif.
  • Semi-régulier: Vertex-Transitif, mais pas de bord, et chaque face est un polygone commun. (Ceci est l'une des définitions du terme, en fonction de l'auteur. Certaines définitions chevauchent la classe quasi-commune.) Ces polyèdres incluent les prismes semi-régulaires et les anti-prix. Un duel semi-régulier est transitif-facial, mais pas vert-transitif, et chaque sommet est commun.
  • Unité: Vertex transitif et chaque face est un polygone commun, c'est-à-dire commun, quasi ordinaire ou semi-commun. Un double lisse est un transitif facial et présente des croix régulières, mais n'est pas nécessairement vert-transitif.
  • Isogonal: Vertex-Transitif.
  • Isotoxique: Bord-transitif.
  • Isohèdre: transit facial.
  • Noble: transitive faciale et transitive vertex (mais pas nécessairement transitive de bord). Les polyèdres communs sont également nobles; ils sont le seul polyèdre noble et uniforme. Les duels de précieux polyèdres sont eux-mêmes nobles.

Certaines classes de polyèdre n'ont qu'un seul grand axe de symétrie. Ceux-ci incluent les pyramides, les bipyramides, les trapèzes, les dômes, ainsi que les prismes semi-régulaires et les anti-prix.

Polyèdres communs(éditer)

Les polyèdres communs sont les plus symétriques. Au total, il existe neuf polyèdres communs: cinq polyèdres convexes et quatre étoiles.

Les cinq exemples convexes sont connus depuis l'Antiquité et s'appellent les solides platoniques. Ce sont la pyramide triangulaire ou le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre:

Il existe également quatre polyèdres en étoile communs, connus sous le nom de polyhèdres de Kepler-Poinsot, d'après ses explorateurs.

Le double d'un polyèdre commun est également commun.

Polyèdres uniformes et leurs duels(éditer)

Les polyèdres uniformes sont des transitions de sommet et chaque face est un polygone commun.
Ils peuvent être divisés en ordinaires, quasi-réguliers ou semi-réguliers, et peuvent être convexes ou en forme d'étoile.

Les duels du polyèdre uniforme ont des faces irrégulières, mais sont transitifs, et chaque figure de vertex est un polygone commun. Un polyèdre lisse présente les mêmes lignes de symétrie que le double, les faces et les angles étant simplement remplacés. Les duels des polyèdres armés convexes sont parfois appelés solides catalans.

Les polyèdres uniformes et leurs duels sont classifiés traditionnellement selon leur symétrie et selon qu’ils soient convexes ou non.

Isohedra(éditer)

un isoèdre est un polyèdre à symétries qui fonctionne de manière transitoire sur les faces. Leur topologie peut être représentée par une configuration faciale. Les 5 solides platoniques et les 13 solides catalans sont des isoèdres ainsi que les familles infinies de trapèzes et de bipyramides. Certains isohèdres permettent des variations géométriques, notamment des formes concaves et auto-sécantes.

Groupes de symétrie(éditer)

Un grand nombre de symétries ou de groupes de points tridimensionnels sont nommés en fonction de la symétrie du polyèdre. Ceux-ci comprennent:

Ceux qui présentent une symétrie chirale n'ont pas de symétrie de réflexion et ont donc deux formes énantiomorphes qui sont des réflexions l'une de l'autre. Les exemples sont snub cuboctaedron et snos icosidodecaedron.

Autres familles importantes de polyèdre(éditer)

Polyèdres à faces régulières(éditer)

En plus des polyèdres réguliers et uniformes, il existe d'autres classes qui ont des faces régulières, mais une symétrie globale plus faible.

Comme des visages lisses(éditer)

Les polyèdres convexes, où chaque face correspond au même type de polygone régulier, appartiennent à trois familles:

  • Triangles: Ces polyèdres sont appelés deltahedra. Il existe huit deltaèdres convexes: trois des solides platoniques et cinq exemples inégaux.
  • Carrés: le cube est le seul exemple convexe. On peut obtenir d’autres exemples (polycubes) en joignant les cubes, mais il faut être prudent pour éviter les faces coplanaires.
  • Pentagones: Le dodécaèdre habituel est le seul exemple convexe.

Les polyèdres ayant des côtés communs congruents de six pages ou plus sont tous non convexes.

Ainsi, le nombre total de polyèdres convexes à faces également régulières est de dix: les cinq solides platoniques et les cinq unités delta non uniformes.(26) Il existe une infinité d'exemples non convexes. Des exemples infinis en forme d'éponge appelés polyèdres infiniment obliques se trouvent dans certaines de ces familles.

Solides de Johnson(éditer)

Norman Johnson a recherché quels polyèdres inégaux convexes avaient des faces communes, mais pas nécessairement toutes identiques. En 1966, il publia une liste de 92 de ces solides, leur donna des noms et des numéros et supposa qu'il n'y en avait pas d'autres. Victor Zalgaller a montré en 1969 la liste de ces Solides de Johnson a été complété.

pyramides(éditer)

Les pyramides comprennent certains des polyèdres les plus durcis et les plus durcis par le temps, tels que les pyramides égyptiennes à quatre côtés.

Stellations et facettes(éditer)

Voler un polyèdre consiste à étendre les faces (dans leurs plans) de manière à ce qu'elles se rencontrent pour former un nouveau polyèdre.

C'est exactement réciproque(explication nécessaire) au processus de facette, qui consiste à retirer des parties d’un polyèdre sans créer de nouveaux angles.

Les figures ci-dessous montrent quelques stellations de l'octaèdre, du dodécaèdre et de l'icosaèdre communs.

zonoèdres(éditer)

Un zonohèdre est un polyèdre convexe où chaque face est un polygone symétrique lors de la rotation à 180 °. Zonohedra peut également être qualifié de somme de Minkowski de segments de droite et comprend plusieurs polyèdres importants remplissant l'espace.(27)

Polyèdre toroïdal(éditer)

Un polyèdre toroïdal est un polyèdre dont la caractéristique d'Euler est inférieure ou égale à 0 ou équivalent si le genre est égal à 1 ou supérieur. Topologiquement, les surfaces de ces polyèdres sont des surfaces toroïdales comportant un ou plusieurs trous au centre.

Polyèdre remplissant l'espace(éditer)

Un paquet polyèdre rempli d’espace avec des copies de lui-même pour remplir l’espace. Un tel remplissage ou pièce remplie s'appelle souvent une tessellation de l'espace ou un gâteau au miel. Les polyèdres remplissant l'espace doivent avoir un invariant de Dehn égal à zéro. Certains pains d’épice comportent plus d’un type de polyèdre.

Gitterpolyeder(éditer)

Un polyèdre convexe où tous les coins ont des coordonnées entières est appelé polyèdre à réseau ou polyèdre intégré. Le polynôme d'Ehrhart d'un polymère en réseau calcule le nombre de points de coordonnées entières situés dans une copie mise à l'échelle du polyèdre, en fonction du facteur d'échelle. L'étude de ces polynômes se situe à l'intersection de la combinatoire et de l'algèbre commutative.(28)

Polyèdre flexible(éditer)

Il est possible que certains polyèdres changent de forme tout en conservant la même forme sur leurs faces en faisant varier les arêtes des arêtes. Un polyèdre capable de le faire s'appelle un polyèdre flexible. Pour la rigidité de Cauchy, les polyèdres flexibles doivent être non convexes. Le volume d’un polyèdre souple doit rester constant lorsqu’il se plie; Ce résultat est connu sous le nom de beuglement.(29)

composés(éditer)

Un composé polyédrique est composé de deux polyèdres ou plus qui partagent un centre commun. Les composés symétriques partagent souvent les mêmes sommets que d'autres polyèdres connus, et peuvent souvent aussi être formés par staging. Certains sont répertoriés dans la liste des modèles de polyèdre de Wenninger.

Polyèdre orthogonal(éditer)

Un polyèdre orthogonal est un polyèdre que toutes les faces rencontrent à angle droit et dont les arêtes sont parallèles aux axes d'un système de coordonnées cartésien. Hormis les boîtes rectangulaires, les polyèdres orthogonaux ne sont pas convexes. Ce sont les analogues 3D de polygones orthogonaux 2D, également appelés polygones rectilignes. Les polyèdres orthogonaux sont utilisés dans la géométrie de calcul, où leur structure limitée a permis de développer des problèmes non résolus pour un polyèdre, par exemple, pour déplier la surface d'un polyèdre en un maillage polygonal.(30)

Généralisations de polyèdre(éditer)

Le nom "polyèdre" a été utilisé pour divers objets ayant des propriétés structurelles similaires à celles des polyèdres traditionnels.

Apeirohedra(éditer)

Une surface polyédrique classique comporte un nombre limité de faces, jointes par paires le long des arêtes. Apeirohedra forme une classe d'objets liés avec une infinité de visages. Voici des exemples d'epeirohedra:

Polyèdres complexes(éditer)

Il existe des objets appelés polyèdres complexes, pour lesquels l'espace sous-jacent est un espace de Hilbert complexe au lieu d'un véritable espace euclidien. Des définitions précises n'existent que pour le polyèdre complexe commun, dont les groupes de symétrie sont des groupes de réflexion complexes. Les polyèdres complexes sont mathématiquement plus proches des configurations que des polyèdres authentiques.(31)

Polyèdre courbé(éditer)

Certains domaines permettent aux polyèdres d'avoir des faces et des bords courbes. Les faces courbes peuvent permettre aux faces digonales d'exister avec une zone positive.

Polyèdre sphérique(éditer)

Lorsque la surface d'une sphère est divisée par de nombreux arcs finaux finaux (de manière correspondante, par un aéronef passant par la sphère centrale), le résultat est appelé un polyèdre sphérique. De nombreux polytopes convexes ayant un certain degré de symétrie (par exemple, tous les solides platoniques) peuvent être projetés sur la surface d'une sphère concentrique pour produire un polyèdre sphérique. Cependant, le processus inverse n'est pas toujours possible. Certains polyèdres sphériques (tels que les hosohedra) n'ont pas d'analogue à face plane.(32)

Polyèdre incurvé(éditer)

Si les faces sont concaves et convexes, les faces adjacentes peuvent se rejoindre sans laisser d'espace. Certains de ces polyèdres incurvés peuvent s'assembler pour remplir l'espace. Deux types importants sont:

Squelettes et polyèdres sous forme de graphiques(éditer)

En oubliant la structure faciale, un polyèdre donne lieu à un graphe, appelé squelette, avec des angles et des bords associés. De tels personnages ont une longue histoire: Léonard de Vinci a développé des modèles-cadres des solides réguliers qu'il a dessinés pour le livre de Pacioli Divina Proportioneet des structures en fil de polyèdre similaires sont montrées en M.C. Empreinte d'Escher étoiles.(35) Un point culminant de cette approche est le théorème de Steinitz, qui donne une caractérisation théorique pure des squelettes de polyèdres convexes: il indique que le squelette de chaque polyèdre convexe est un graphe planaire à 3 liaisons et que chaque graphe planaire à 3 liaisons est le squelette d'un polyèdre convexe. .

Une première idée de polyèdre abstrait a été développée dans l’étude de "polyèdres creux profilés" de Branko Grünbaum. Grünbaum a défini les faces comme étant des ensembles de sommets ordonnés de manière cyclique, ce qui leur permet d'être inclinés et planifiés.(36)

La perspective graphique permet d'utiliser la terminologie graphique et les propriétés du polyèdre. Par exemple, le polyèdre tétraèdre et Császár est le seul polyèdre connu dont les squelettes sont des graphes complets (K4), et diverses restrictions de symétrie sur le polyèdre donnent lieu à des squelettes qui sont des graphes symétriques.

Utilisations alternatives(éditer)

À partir de la seconde moitié du XXe siècle, il a été démontré que diverses constructions mathématiques possèdent des propriétés également présentes dans les polyèdres traditionnels. Au lieu de limiter le terme "polyèdre" à la description d'un polytope tridimensionnel, il a été adopté pour décrire diverses structures apparentées mais différentes.

Polyèdre de dimension supérieure(éditer)

Un polyèdre est défini comme un ensemble de points dans un espace affine réel (ou euclidien) de toute dimension n qui a des côtés plats. Alternativement, il peut être défini comme l'intersection de beaucoup plus de demi-espaces. Contrairement à un polyèdre conventionnel, il peut être délimité ou non lié. En ce sens, un polytope est un polyèdre délimité.(14)(15)

Analytiquement, un tel polyèdre convexe s’exprime comme la solution d’un système d’inégalités linéaires. Définir le polyèdre de cette manière fournit une perspective géométrique aux problèmes de programmation linéaire.
De nombreuses formes polyédriques traditionnelles sont des polyèdres dans ce sens. D'autres exemples incluent:

  • Un quadrant dans l'avion. Par exemple, la région du plan cartésien constituée de tous les points situés au-dessus de l'axe horizontal et à droite de l'axe vertical: ( x, y ): x ≥ 0, y ≥ 0 . Les pages sont les deux axes positifs, et il est par ailleurs non lié.
  • Un octant en Euclidean 3-place, ( x, y, z ): x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 .
  • Un prisme de degré infini. Par exemple, un prisme carré à double infini sur 3 places, consistant en un carré en xyavion emporté zaxe: ( x, y, z ): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y 1 .
  • Chaque cellule d’un pavage de Voronoï est un polyèdre convexe. Dans le pavage de Voronoï d'un ensemble S, cellules FR correspond à un point cS est délimité (d'où un polyèdre traditionnel) lorsque c se trouve à l'intérieur de la coque convexe Set autrement (quand c se trouve à la frontière de la coque convexe S) FR est non lié.

Polyèdre topologique(éditer)

Un polytope topologique est un compartiment topologique pourvu d'une dégradation particulière sous des formes topologiquement équivalentes à des polytopes convexes et qui sont liées les unes aux autres de manière classique.

Un tel chiffre s'appelle simplicial si chacune de ses régions est un simplex, c'est-à-dire dans une ntridimensionnelle de chaque région n+1 coins. Le double d'un polytope simplicial s'appelle facile. De même, une classe de polytopes (polyèdres) très étudiée est celle du polyèdre cubique lorsque le bloc de construction de base est un n-dimensionnel cube.

Polyèdre abstrait(éditer)

Un polytope abstrait est un ensemble d'éléments partiellement ordonnés dont l'ordre partiel respecte certaines occurrences (connectivité) et certains classements. Les éléments de l'ensemble correspondent aux croix, arêtes, faces, etc. du polytope: les verticales ont le rang 0, les arcs le rang 1, etc., le rang partiellement ordonné correspondant à la dimensionnalité des éléments géométriques. L'ensemble vide, requis par la théorie des ensembles, a une valeur nominale de -1 et est parfois dit correspondre au polytope zéro. Un polyèdre abstrait est un polytope abstrait classé dans le classement suivant:

  • rang 3: l'élément maximum, parfois identifié au corps.
  • rang 2: les faces polygonales.
  • rang 1: les bords.
  • rang 0: les pics.
  • rang -1: le jeu vide, parfois identifié par polytope zéro ou nullitope(37).

On dit alors que tout polyèdre géométrique est une "réalisation" dans un espace réel dans la poche abstraite, comme décrit ci-dessus.

histoire(éditer)

ancien(éditer)

préhistoire

Les polyèdres sont apparus dans les formes architecturales anciennes telles que les cubes et les cuboïdes, avec les plus anciennes pyramides à quatre côtés de l'Égypte ancienne, également issues de l'âge de pierre.

Les Étrusques se sont rendus devant les Grecs conscients d’au moins certains polyèdres communs, comme le prouve la découverte d’un dodécaèdre étrusque en tartre sur le mont Loffa. Ses visages étaient marqués de dessins différents, suggérant que certains érudits auraient pu être utilisés comme une porte de jeu.(38)

Civilisation grecque

Le plus ancien connu écrit Les entrées de ces figures proviennent d’auteurs grecs classiques, qui en ont également fourni la première description mathématique connue. Les anciens Grecs étaient principalement intéressés par les polyèdres réguliers convexes, connus sous le nom de solides platoniques. Pythagoras visste minst tre av dem, og Theaetetus (ca. 417 B.C.) beskrev alle fem. Til slutt beskrev Euclid sin konstruksjon i hans éléments. Senere utvidet Archimedes sin studie til den konvekse, ensartede polyederen som nå bærer navnet hans. Hans opprinnelige arbeid går tapt og hans faste stoffer kommer ned til oss gjennom Pappus.

Chine

Kubisk spille terning i Kina har blitt datert tilbake så tidlig som 600 B.C.(référence nécessaire)

Ved 236 e.Kr. beskrev Liu Hui kubens disseksjon i sin karakteristiske tetrahedron (orthoscheme) og tilhørende faste stoffer ved å bruke sammenstillinger av disse faste stoffene som grunnlag for å beregne volumer av jord som skal flyttes under ingeniørutgravninger.

Islamic civilisation

After the end of the Classical era, scholars in the Islamic civilisation continued to take the Greek knowledge forward (see Mathematics in medieval Islam).

The 9th century scholar Thabit ibn Qurra gave formulae for calculating the volumes of polyhedra such as truncated pyramids.

Then in the 10th century Abu&#39;l Wafa described the convex regular and quasiregular spherical polyhedra.

Renaissance(éditer)

As with other areas of Greek thought maintained and enhanced by Islamic scholars, Western interest in polyhedra revived during the Italian Renaissance. Artists constructed skeletal polyhedra, depicting them from life as a part of their investigations into perspective. Several appear in marquetry panels of the period. Piero della Francesca gave the first written description of direct geometrical construction of such perspective views of polyhedra. Leonardo da Vinci made skeletal models of several polyhedra and drew illustrations of them for a book by Pacioli. A painting by an anonymous artist of Pacioli and a pupil depicts a glass rhombicuboctahedron half-filled with water.

As the Renaissance spread beyond Italy, later artists such as Wenzel Jamnitzer, Dürer and others also depicted polyhedra of various kinds, many of them novel, in imaginative etchings.

Star polyhedra(éditer)

For almost 2,000 years, the concept of a polyhedron as a convex solid had remained as developed by the ancient Greek mathematicians.

During the Renaissance star forms were discovered. A marble tarsia in the floor of St. Mark&#39;s Basilica, Venice, depicts a stellated dodecahedron. Artists such as Wenzel Jamnitzer delighted in depicting novel star-like forms of increasing complexity.

Johannes Kepler (1571–1630) used star polygons, typically pentagrams, to build star polyhedra. Some of these figures may have been discovered before Kepler&#39;s time, but he was the first to recognize that they could be considered "regular" if one removed the restriction that regular polytopes must be convex. Later, Louis Poinsot realised that star vertex figures (circuits around each corner) can also be used, and discovered the remaining two regular star polyhedra. Cauchy proved Poinsot&#39;s list complete, and Cayley gave them their accepted English names: (Kepler&#39;s) the small stellated dodecahedron and great stellated dodecahedron, and (Poinsot&#39;s) the great icosahedron and great dodecahedron. Collectively they are called the Kepler-Poinsot polyhedra.

The Kepler-Poinsot polyhedra may be constructed from the Platonic solids by a process called stellation. Most stellations are not regular. The study of stellations of the Platonic solids was given a big push by H.S.M. Coxeter and others in 1938, with the now famous paper The 59 icosahedra.(39)

The reciprocal process to stellation is called facetting (or faceting). Every stellation of one polytope is dual, or reciprocal, to some facetting of the dual polytope. Le polymère en étoile habituel peut également être obtenu en facétisant les solides platoniques. Bridge (1974) listed the simpler facettings of the dodecahedron, and reciprocated them to discover a stellation of the icosahedron that was missing from the set of "59".(40) More have been discovered since, and the story is not yet ended.(référence nécessaire)

Euler&#39;s formula and topology(éditer)

Two other modern mathematical developments had a profound effect on polyhedron theory.

In 1750 the German Leonhard Euler for the first time considered the edges of a polyhedron, allowing him to discover his polyhedron formula relating the number of vertices, edges and faces. This signalled the birth of topology, sometimes referred to as "rubber sheet geometry", and the Frenchman Henri Poincaré developed its core ideas around the end of the nineteenth century. This allowed many longstanding issues over what was or was not a polyhedron to be resolved.

Max Brückner summarised work on polyhedra to date, including many findings of his own, in his book "Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte" (Polygons and polyhedra: Theory and History). Published in German in 1900, it remained little known.

Meanwhile, the discovery of higher dimensions led to the idea of a polyhedron as a three-dimensional example of the more general polytope.

Twentieth-century revival(éditer)

By the early years of the twentieth century, mathematicians had moved on and geometry was little studied. Coxeter&#39;s analysis in The Fifty-Nine Icosahedra introduced modern ideas from graph theory and combinatorics into the study of polyhedra, signalling a rebirth of interest in geometry.

Coxeter himself went on to enumerate the star uniform polyhedra for the first time, to treat tilings of the plane as polyhedra, to discover the regular skew polyhedra and to develop the theory of complex polyhedra first discovered by Shephard in 1952, as well as making fundamental contributions to many other areas of geometry.

In the second part of the twentieth century, Grünbaum published important works in two areas. One was in convex polytopes, where he noted a tendency among mathematicians to define a "polyhedron" in different and sometimes incompatible ways to suit the needs of the moment. The other was a series of papers broadening the accepted definition of a polyhedron, for example discovering many new regular polyhedra. At the close of the 20th century these latter ideas merged with other work on incidence complexes to create the modern idea of an abstract polyhedron (as an abstract 3-polytope), notably presented by McMullen and Schulte.

In nature(éditer)

For natural occurrences of regular polyhedra, see Regular polyhedron: Regular polyhedra in nature.

Irregular polyhedra appear in nature as crystals.

Voir aussi(éditer)

References(éditer)

Notes

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Sources

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Eksterne linker(éditer)

General theory(éditer)

Lists and databases of polyhedra(éditer)

Free software(éditer)

  • A Plethora of Polyhedra – An interactive and free collection of polyhedra in Java. Features includes nets, planar sections, duals, truncations and stellations of more than 300 polyhedra.
  • Hyperspace Star Polytope Slicer – Explorer java applet, includes a variety of 3d viewer options.
  • openSCAD – Free cross-platform software for programmers. Polyhedra are just one of the things you can model. The openSCAD User Manual is also available.
  • OpenVolumeMesh – An open source cross-platform C++ library for handling polyhedral meshes. Developed by the Aachen Computer Graphics Group, RWTH Aachen University.
  • Polyhedronisme – Web-based tool for generating polyhedra models using Conway Polyhedron Notation. Models can be exported as 2D PNG images, or as 3D OBJ or VRML2 files. The 3D files can be opened in CAD software, or uploaded for 3D printing at services such as Shapeways.

Resources for making physical models(éditer)


La beauté et l’intérêt des robustes de Platon continuent d’inspirer toutes sortes de personnes, y compris des guérisseurs intuitifs et des esprits plus logiques. nLes Solides de Platon sont 5 formes polyèdres considérées comme une partie cruciale de la Géométrie Sacrée. Ils ont été décrits pour la première fois par l’ancien philosophe Platon, bien qu’il ait été prouvé que les anciens étaient déjà au courant de ces formes spéciales et magiques depuis plus de 1000 ans avant la documentation de Platon. nLes formes qui composent les cinq Solides de Platon originaux se retrouvent de manière naturelle dans la nature, mais également dans le monde cristallin. Travailler avec eux individuellement est censé nous aider à nous lier à la nature et aux royaumes supérieurs du cosmos, à trouver le modèle commun qui nous lie tous à la hauteur moléculaire et spirituel.

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