Solide platonique – de Wolfram MathWorld | solides de Platon







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Les solides platoniques, également appelés solides communs ou polyèdres communs, sont des polyèdres convexes avec des faces similaires qui sont assemblés
congruemment convexe régulièrement
polygones
. Il n'y a que cinq solides de ce type (Steinhaus 1999, pp. 252-256):
cubes, dodécaèdres,
icosaèdre, octaèdre,
et tétraèdre, comme l'a récemment montré Euclide
suggestions de éléments. Les solides platoniques
est également appelé "figures cosmiques" (Cromwell 1997), bien que cette
Le terme est parfois utilisé pour désigner collectivement les deux solides platoniques et Solides de Kepler-Poinsot (Coxeter 1973).

Les solides platoniques étaient connus des Grecs anciens et ont été décrits par Platon dans son Timée ca. 350 av. Dans ce travail, Platon a aimé le tétraèdre
avec "l'élément" le feu, le cube avec la terre,
icosaèdre avec de l'eau, octaèdre
avec de l'air, et le dodécaèdre avec des choses
comme les constellations et les cieux ont été faites (Cromwell 1997). Prédatant Platon,
les peuples néolithiques d’Écosse ont développé les cinq solides un millier plus tôt.
Les modèles en pierre sont conservés au musée Asmolean à Oxford (Atiyah et Sutcliffe
2003).

Schläfli (1852) a montré qu’il y avait exactement six corps solides aux propriétés platoniques (polytopes communs) dans quatre
dimensions, trois en cinq dimensions et trois dans toutes les dimensions supérieures. D'autre part,
Son travail (qui n'incluait aucune illustration) lui reste presque inconnu
a été partiellement publié en anglais par Cayley (Schläfli 1858, 1860). Autres mathématiciens
Par exemple, Stringham a découvert des résultats similaires de manière indépendante en 1880 et
Le travail de Schläfli a été publié dans son intégralité à titre posthume en 1901.

si P est un polyèdre
à faces polygonales communes congruentes (convexes), puis Cromwell (1997, p. 77-78)
montre que les déclarations suivantes sont équivalentes.

1. Les nœuds pour P tous se trouvent sur une sphère.

2. Tous les angles dièdres sont égaux.

3. Tous les points de pointe sont régulièrement
polygones
.

4. Tous les angles fixes sont égaux.

5. Tous les coins sont entourés du même nombre de faces.

la v (parfois appelé N_0) soit le nombre
des sommets de polyèdre, e (ou N_1) le nombre
des tombeaux et fa (ou N_2) le nombre
des visages. Le tableau suivant fournit Schläfli
symbole
, Le symbole Wythoff et le symbole C & R,
nombre croix v, bords eet des visages faet les balles
pour les solides platoniques (Wenninger 1989). Le nombre de faces ordonné pour Platonic
les solides sont 4, 6, 8, 12, 20 (OEIS A053016; en
tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre) qui est également
le nombre ordonné de coins (dans l’ordre du tétraèdre, octaèdre, cube, icosaèdre,
dodécaèdre). Le nombre ordonné de bords est 6, 12, 12, 30, 30 (OEIS A063722;
dans l'ordre tétraèdre, octaèdre = cube, dodécaèdre = icosaèdre).

Les duos de solides platoniques sont d'autres solides platoniques, et en fait le double du tétraèdre est un autre tétraèdre.
la r_d être rayon
du double polyèdre (qui correspond à l'insert,
qui touche les faces du double solide), rho être midradius
du polyèdre et de son dual (correspondant à la sphère intermédiaire,
qui touche à la fois le polyèdre et ses duels), R le circumradius
(qui correspond à la circonférence du solide
qui touche les verticales du solide) du solide platonique, et un longueur du bord
du solide. Depuis le périmètre et l'intestin
sont doubles, ils obéissent à la relation

    Rr_d = rho ^ 2

(1)

(Cundy et Rollett 1989, tableau II, p. 144). En plus,

Les deux tableaux suivants fournissent les valeurs analytiques et numériques de ces solides d'espacement d'espaceur.

Enfin, laissez FR survivre à la région
d'un seul visage, V Soyez le volume
du solide, et les bords du polyèdre sont de l'unité
longueur d'une page. Le tableau ci-dessous résume ces montants pour platonique
solides.

Le tableau suivant donne les angles dièdres alpha et angles bêta sous-tendu par
une arête du centre des solides platoniques (Cundy et Rollett, 1989, tableau II)
Suivez la page 144).

Le nombre de bords polyédriques rencontrés sur un sommet de polyèdre est 2e / v. ils Schläfli
symbole
peut être utilisé pour spécifier un solide platonique. Pour le fixe si les faces sont
p-gons (désigné P), avec q touche à chaque polyèdre
sommet
, le symbole est P, q. donné p et q, nombre
sommets de polyèdre, polyèdre
bords
, et les visages sont dégagés

PlatonicDualsWenninger

Les graphiques ci-dessus montrent des duels mis à l'échelle du solide platonique intégrés dans une forme cumulative du solide d'origine, la mise à l'échelle étant choisie de sorte que les angles doubles
mentir sur les incisions des faces originales (Wenninger 1983, pp. 8-9).

Puisque les solides platoniques sont convexes, la coque convexe de chaque solide platonique est elle-même le solide. minimal
surfaces
Isenberg (1992, p. 82-83) illustre les structures solides platoniques.


En observant les relations entre les robustes de Platon, nous pouvons noter que l’icosaèdre est l’inverse précis du dodécaèdre. C’est-à-dire, si vous connectez les échelons centraux des douze pentagones qui forment l’élément éthérique, vous aurez créé les douze coins de l’icosaèdre aqueux. nC’est intrigant parce que ce que nous avons pu observer jusqu’à présent de l’éther indique qu’il se comporte effectivement comme un fluide. Certes, la mesure et l’observation de l’éther s’est reconnue assez difficile jusqu’à présent, à cause de son omniprésence. Comment mesurer quelque chose dont on ne peut s’échapper ? Et si nous ne pouvons pas le mesurer, comment pouvons-nous être sûrs qu’il existe ? nNous avons peu de mal à mesurer les autres composants : la masse cinétique de la terre ; les contre sens chimiques rendues solubles par l’eau ; la chaleur rayonnante du feu ; les volts du vent électrique. Celles-ci s’observent relativement facilement, ‘ continuellement ouvertes à notre regard ‘ comme elles l’effectuent. Mais l’éther super subtil échappe à une détection facile. ‘ n

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