Polyèdre régulier – Wikipedia | solides de Platon énergie

FR polyèdre commun est un polyèdre dont le groupe de symétrie travaille de manière transitoire sur ses drapeaux. Un polyèdre ordinaire est très symétrique: transitions de bord, transitions de vertex et transitives du visage. Dans les contextes classiques, de nombreuses définitions équivalentes sont utilisées. Une caractéristique commune est que les faces sont des polygones communs congruents qui sont regroupés de la même manière autour de chaque sommet.

Un polyèdre ordinaire est identifié par son symbole Schläfli sur la forme n, m, où n est le nombre de côtés de chaque face et m Nombre de faces se rencontrant à chaque sommet. Il existe cinq polyèdres réguliers convexes finis (les solides platoniques) et quatre polyèdres en étoile communs (polyhèdres de Kepler-Poinsot), qui forment au total neuf polyèdres réguliers. En outre, il existe cinq composés solides de polyèdres ordinaires.

Le polyèdre habituel(éditer)

Il existe cinq polyèdres réguliers convexes appelés Solides platoniques, quatre polyèdres en étoile réguliers, le Polyeder de Kepler-Poinsotet cinq composés solides avec des polyèdres communs:

Solides platoniques(éditer)

Polyeder de Kepler-Poinsot(éditer)

Connexions communes(éditer)

caractéristiques(éditer)

Propriétés équivalentes(éditer)

La possibilité d'avoir une disposition similaire des faces autour de chaque sommet peut être remplacée par l'une des conditions équivalentes suivantes de la définition:

Sphères concentriques(éditer)

Un polyèdre commun a ses trois sphères apparentées (les autres polyèdres n’ayant pas au moins un type) qui partagent leur centre:

symétrie(éditer)

Les polyèdres communs sont les plus symétriques de tous les polyèdres. Ils sont situés dans seulement trois groupes symétriques, nommés d'après eux:

  • tétraèdre
  • Octaèdre (ou cubique)
  • Icosaèdre (ou dodécaédrique)

Toute forme présentant une symétrie icosaédrique ou octaédrique comportera également une symétrie tétraédrique.

Caractéristique d'Euler(éditer)

Les cinq solides platoniques ont une caractéristique d'Euler de 2. Cela reflète uniquement le fait que la surface est une sphère topologique à deux sphères. C'est également vrai, par exemple, de
Tout polyèdre en forme d'étoile par rapport à un point intérieur.

Faits saillants intérieurs(éditer)

La somme des distances d'un point quelconque à l'intérieur d'un polyèdre ordinaire vers les côtés est indépendante de la position du point. (Ceci est une extension du théorème de Vivian.) Cependant, l'inverse ne tient pas, pas même pour les tétraèdres.(1)

Dualité des polyèdres communs(éditer)

Dans une double paire de polyèdres, les sommets d'un polyèdre correspondent aux faces de l'autre, et inversement.

Les polyèdres habituels montrent cette dualité comme suit:

Le symbole Schläfli pour dual est uniquement l'original écrit à l'envers, par exemple le double de 5, 3 est 3, 5.

histoire(éditer)

préhistoire(éditer)

Des pierres taillées dans des formes ressemblant à des grappes ou à des boutons ont été trouvées en Écosse et peuvent avoir jusqu'à 4000 ans. Certaines de ces pierres montrent non seulement les symétries des cinq solides platoniques, mais également certaines des relations doublétiques qui les unissent (c'est-à-dire que les centres des faces du cube fournissent un octaèdre). Des exemples de ces pierres sont exposés dans la salle John Evans du musée Asmolan de l'Université d'Oxford. Pourquoi ces objets ont été fabriqués, ou comment leurs créateurs ont eu l'inspiration pour eux, est un mystère. Il existe un doute sur l’interprétation mathématique de ces objets, de sorte que beaucoup ont des formes non platoniques et qu’un seul d’entre eux s’est avéré être un véritable isoèdre, par opposition à une réinterprétation de l’icosaèdre dual, le dodécaèdre.(2)

Il est également possible que les Étrusques devancent les Grecs, conscients d’au moins certains des polyèdres communs, comme le prouvent les découvertes faites près de Padoue (nord de l’Italie) à la fin du XIXe siècle par un dodécaèdre fabriqué en tartre et datant de plus de 2500 ans (Lindemann, 1987).

Grecs(éditer)

Le plus ancien connu écrit Les enregistrements des solides convexes habituels proviennent de la Grèce classique. Quand ces solides ont été découverts et par qui on ne les connaît pas, Theaetet (un Athénien) a été le premier à donner une description mathématique des cinq (Van der Waerden, 1954), (Euclid, livre XIII). H.S.M. Coxeter (Coxeter, 1948, section 1.9) crédite Platon (400 av. J.-C.) en en faisant des modèles et mentionne que l'un des anciens Pythagore, Timée de Locri, a utilisé les cinq dans une correspondance entre le polyèdre et la nature de l'univers. il a ensuite été perçu – cette correspondance est enregistrée dans le dialogue de Platon Timée. La référence d'Euclide à Platon a conduit à leur description commune comme Solides platoniques.

On peut caractériser la définition grecque comme suit:

  • Un polygone commun est une forme plate (convexe) avec tous les bords égaux et tous les coins égaux
  • Un polyèdre ordinaire est une figure solide (convexe) où toutes les faces sont des polygones communs congruents, le même nombre étant disposé tout autour de chaque sommet.

Par exemple, cette définition régit la pyramide carrée (toutes les faces étant communes, la base carrée n’est pas congrue aux côtés triangulaires), ou la forme formée par la jonction de deux tétraèdres (puisque toutes les surfaces du bipyramide triangulaire seraient des triangles équilatéraux, c’est-à-dire congruents et communs, certains coins ont 3 triangles et d’autres 4).

Ce concept de polyèdre régulier restera incontesté pendant près de 2000 ans.

Polyèdres en étoile communs(éditer)

Les polygones étoilés tels que le pentagramme (le pentagone de l'étoile) étaient également connus des Grecs de l'Antiquité – le pentagramme était utilisé par les pythagore comme caractères secrets, mais ils ne les utilisaient pas pour construire des polyèdres. Ce n'est qu'au début des années 1700 que Johannes Kepler réalisa que les pentagrammes pouvaient être utilisés comme faces de polymères en étoile ordinaires. Certains de ces polymères en étoile ont peut-être été découverts avant l'époque de Kepler, mais Kepler a été le premier à reconnaître qu'ils pouvaient être considérés comme "ordinaires" si l'on supprimait la contrainte que le polyèdre commun est convexe. Deux cents ans plus tard, Louis Poinsot autorisait également les stars (en orbite autour de chaque coin) afin de pouvoir découvrir deux nouveaux pôles communs ainsi que la redécouverte de Kepler. Ces quatre sont les seuls polyèdres en étoile communs et sont désormais connus sous le nom de polyèdres de Kepler-Poinsot. Ce n'est qu'au milieu des années 1800, quelques décennies après la publication de Poinsot, que Cayley leur a donné leur nom anglais moderne: (Kepler), petit dodécaèdre étoilé et dodécaèdre à mémoire de forme, et grand icosaèdre et grand dodécaèdre (de Poinsot).

Le polythène de Kepler-Poinsot peut être construit à partir des solides platoniques par un processus appelé stellaire. Le processus mutuel de stellation s'appelle facettage (ou facette). Chaque stellation d’un polyèdre est deux ou mutuelle, selon l’une des facettes du double polyèdre. Le polymère en étoile habituel peut également être obtenu en facétisant les solides platoniques. Cela a été fait pour la première fois par Bertrand à peu près au même moment où l'appelait Cayley.

À la fin du XIXe siècle, il existait donc neuf polyèdres communs – cinq convexes et quatre étoiles.

Polyèdres communs dans la nature(éditer)

Chacun des solides platoniques se produit naturellement sous une forme ou une autre.

Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre apparaissent tous sous forme de cristaux. Celles-ci n'excluent aucunement le nombre de formes possibles de cristaux (Smith, 1982, p212), qui sont au nombre de 48. Ni l'isochédron ni le dodécahène habituels ne sont parmi eux, mais les cristaux peuvent se présenter sous la forme d'un pyritohèdre qui ne se distingue pas visuellement. d'un dodécaèdre ordinaire. Des cristaux vraiment cristallins de glace peuvent être formés à partir de matériaux quasi cristallins de nature très rare, mais peuvent être produits en laboratoire.

Une découverte récente concerne un certain nombre de nouveaux types de molécules de carbone, appelés fullerènes (voir Curl, 1991). Bien que C60, le plus facile à produire, a une apparence plus ou moins sphérique, certaines des plus grandes variantes (par exemple, C240, C480 et C960) est l’hypothèse de prendre la forme d’un icosahra légèrement arrondi, quelques nanomètres en plus.

Les polyèdres sont également représentés en biologie. Au début du XXe siècle, Ernst Haeckel a décrit un certain nombre d'espèces de radiolaires, dont certaines ont la forme d'un squelette ressemblant à un certain nombre de polyèdres communs (Haeckel, 1904). Les exemples incluent Sirkoporus octaèdre, Icosahedra de Circogonia, Lithocubus geometricus et Dodécaèdres de Circorrhegma; Les formes de ces créatures sont indiquées par leurs noms. Les cellules protéiques externes de nombreux virus forment des polyèdres communs. Par exemple, le VIH est contenu dans un icosaèdre ordinaire.

Dans les temps anciens, les Pythagoriciens croyaient qu'il y avait une harmonie entre les polyèdres communs et les orbites de la planète. Dans les années 1700, Johannes Kepler étudia les données sur les mouvements planétaires préparées par Tycho Brahe et tenta pendant une décennie d'établir l'idéal de Pythagore en trouvant un lien entre la taille des polyèdres et la taille des orbites de la planète. Sa recherche a échoué dans son objectif initial, mais de cette recherche, les découvertes de Kepler sur les tissus de Kepler sont apparues comme des polytopes communs, la réalisation que les orbites de la planète ne sont pas des cercles et les lois du mouvement planétaire pour lesquelles il est maintenant connu. À l'époque de Kepler, il n'y avait que cinq planètes (sauf la Terre) qui connaissaient bien le nombre de solides platoniques. Le travail de Kepler et la découverte depuis cette époque d'Uranus et de Neptune ont rendu caduque l'idée de Pythagore.

En même temps que les Pythagore, Platon a décrit une théorie de la matière dans laquelle les cinq éléments (terre, air, feu, eau et esprit) consistaient chacun en petits échantillons de l'un des cinq solides solides. Les aliments ont été constitués d’un mélange de ces polyèdres, chaque substance ayant des proportions différentes dans le mélange. Deux mille ans plus tard, la théorie atomique de Dalton montrerait que cette idée suit les lignes droites, mais n'est pas directement liée au solide.

Autres généralisations(éditer)

Le 20ème siècle a vu plusieurs générations l'idée d'un polyèdre commun, ce qui a conduit à plusieurs nouvelles classes.

Apeirohedra régulièrement asymétrique(éditer)

Dans les premières décennies, Coxeter et Petrie ont autorisé les sommets "Saddle" avec alternance de collines et de vallées, leur permettant de construire trois surfaces infiniment pliées comme ils l'appellent régulièrement des polyèdres obliques.(3) Coxeter a offert un symbole Schläfli modifié l, m pour ces nombres, avec l, m indiquant le sommet, avec m régulièrement l-gons autour d'un sommet. ils n définit n-gonal trous. Leurs figures de sommet sont des polygones obliques réguliers, se croisant en zigzaguant entre deux plans.

Polyèdres obliques réguliers infinis à 3 positions (partiellement dessinés)
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4.6
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6.4
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3

Polyèdres obliques réguliers(éditer)

Les polyèdres déformés réguliers finis sont disponibles en 4 emplacements. Ces polyèdres obliques réguliers finis en position 4 peuvent être vus comme un sous-ensemble des faces de 4 polytopes uniformes. Ils ont des faces de polygones réguliers simples, mais des formes de sommets de polygones obliques réguliers.

Deux solutions sont liées à la cellule 5, deux deux solutions sont liées à la cellule 24, et un ensemble infini de duoprisme auto-doublant génère des polyèdres obliques réguliers tels que 4, 4 . À la limite infinie, ils s'approchent d'un cylindre duo et ressemblent à un tore dans leurs projections stéréographiques à 3 positions.

Polyèdres réguliers dans des espaces non euclidiens et autres(éditer)

Des études sur des espaces non euclidiens (hyperboliques et elliptiques) et autres, tels que des salles complexes, découvertes au siècle dernier, ont permis de découvrir plusieurs nouveaux polyèdres en tant que polyèdres complexes ne pouvant prendre qu'une forme géométrique régulière dans ces espaces.

Polyèdres communs dans l'espace hyperbolique(éditer)

En h3espace hyperbolique, les nids d'abeilles communs paraccompacts ont des facettes de tuiles euclidiennes et des formes de vertex qui agissent comme un polyèdre final. De tels carreaux présentent une erreur angulaire qui peut être fermée en se pliant d'une manière ou d'une autre. Si les carreaux sont correctement mis à l'échelle, il sera proche comme limite asymptopique sur un seul point idéal. Ces tuiles euclidiennes sont inscrites dans une horosphère, tout comme le polyèdre est inscrit dans une sphère (contenant zéro point idéal). La séquence s'étend lorsque les pavés hyperboliques sont utilisés même comme facettes de pavés hyperboliques non compacts, comme dans les pavés heptagoniques en nid d'abeille 7,3,3; Ils sont inscrits dans une surface équivalente (un 2-hypercycle), qui a deux points idéaux.

Les pavages réguliers du vrai plan projectif(éditer)

Un autre groupe de polyèdres communs est constitué de carreaux du plan projectif réel. Ceux-ci comprennent les hémi-cubes, les hémi-octaèdres, les hémododécaèdres et les hémicicèdres. Ils sont (globalement) des polyèdres en saillie et sont les contreparties projectives des solides platoniques. Le tétraèdre n'a pas de contrepartie saillante puisqu'il ne possède pas de paires de faces parallèles identifiables, contrairement aux quatre autres solides platoniques.

Celles-ci se présentent sous la forme de deux paires de la même manière que les solides platoniques d'origine. Les propriétés d'Euler sont toutes 1.

Polyèdre uni abstrait(éditer)

A présent, les polyèdres étaient bien compris comme des exemples tridimensionnels de polytopes dans un nombre quelconque de dimensions. La seconde moitié du siècle a vu le développement d'idées algébriques abstraites telles que la combinatoire polyhédrale, aboutissant à l'idée d'un polytope abstrait qui ordonne partiellement des ensembles d'éléments. Les éléments d’un polyèdre abstrait sont son corps (élément maximal), ses faces, arêtes, angles et polytope zéro ou un ensemble vide. Ces éléments abstraits peuvent être cartographiés dans des pièces ordinaires ou réalisé comme des figures géométriques. Certains polyèdres abstraits ont bien formé ou fidèlement réalisations, d'autres pas. FR drapeaux est un ensemble continu d'éléments de chaque dimension – pour un polyèdre qui est le corps, un visage, un bord facial, un point de bord du bord et le polytope nul. Un polytope abstrait est dit être régulièrement si ses symétries combinatoires sont transitives sur ses drapeaux, c'est-à-dire que n'importe quel drapeau peut être mappé sur un autre sous une symétrie du polyèdre. Les polytopes communs abstraits restent un domaine de recherche actif.

Cinq de ces polyèdres abstraits réguliers, qui ne peuvent pas être fidèlement réalisés, ont été identifiés par H. S. Coxeter dans son livre Polytopes réguliers (1977) et encore par J. M. Wills dans sa thèse "Les polyèdres combinatoires réguliers d'index 2" (1987). Tous les cinq ont C2x S5 symétrie, mais ne peut être réalisée qu'avec une demi-symétrie, c’est-à-dire C2x et5 ou symétrie icosaédrique.(4)(5)(6) Ce sont tous des toroïdes topologiquement similaires. Leur construction, en organisant n Les faces autour de chaque sommet peuvent être répétées indéfiniment sous forme de tuiles du plan hyperbolique. Dans les schémas ci-dessous, les images en mosaïque hyperbolique ont des couleurs correspondant à celles des images polyhédriques.

polyèdre DU36 Triacontahedron médial rhombique.png
Triacontahedron médial rhombique
Dodecadodecahedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/en/Dodecadodecahedron.png/100px-Dodecadodecahedron.png "dekoding =" async "width =" 100 "height =" 100 "srcset =" // upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/en/Dodecadodecahedron.png/150px-Dodecadodecahedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d /da/Dodecadodecahedron.png/200px-Dodecadodecahedron.png 2x "fichier de données width =" 1000 "fichier de données height =" 1000
dodécadodécaèdre
DU41 icosahedron medial triambic.png
Icosaèdre triambic médial
Ditrecadodecahedron.png Ditrigonal
Dodécadodécaèdre nitrigonal
Dodécaèdre excavé.png
Dodécaèdre fouillé
type Dual 5.46 5,46 Dual de 5.64 5,64 6,66
(v,e,fa) (24,60,30) (30,60,24) (24,60,20) (20,60,24) (20,60,20)
Figure vertex 5, 5/2
Polygone régulier 5.svgPentagram green.svg
(5.5 / 2)2
Dodecadodecahedron vertfig.png
5, 5/2
Polygone régulier 5.svgPentagram green.svg
(5.5 / 3)3
Dodécadodécaèdre nitrigonal vertfig.png
Icosaèdre triambic médial face.png
visages 30 losanges
Losange definition2.svg
12 pentagones
12 pentagrammes
Polygone régulier 5.svgPentagram green.svg
20 hexagones
Icosaèdre triambic médial face.png
12 pentagones
12 pentagrammes
Polygone régulier 5.svgPentagram green.svg
20 hexagrammes
Étoile hexagonale face.png
carrelage Uniformes tuiles 45-t0.png
4, 5
Tuiles uniformes 552-t1.png
5, 4
Tuiles uniformes 65-t0.png
5, 5
Tuiles uniformes 553-t1.png
5, 6
Tuile uniforme 66-t2.png
6, 6
χ -6 -6 -16 -16 -20

Petrie double(éditer)

Le dual de Petrie d'un polyèdre ordinaire est une carte commune dont les angles et les arêtes correspondent aux bords et aux arêtes du polyèdre d'origine et dont les faces sont visibles avec des polygones de Petrie nets.(7)

Pétrials communs
nom Petrieltetraeder Pétrial cube Pétrial octaédrique Dodécaèdre de Petrial Icosaèdre de Petrial
symbole 3,3π 4,3π 3,4π 5,3π 3,5π
(v,e,fa) χ (4,6,3) χ = 1 (8,12,4) χ = 0 (6,12,4) χ = -2 (20,30,6), χ = -4 (12,30,6), χ = -12
visages 3 carrés biseautés 4 hexagones de biseau 6 carafe inclinée
image Tetrahedron 3 petrie polygons.png Cube 4 petrie polygons.png Octahedron 4 petrie polygons.png Petrial dodecahedron.png Petrial icosahedron.png
Les parents
chiffres
Hemicube.svg
4,33 = 4.3 / 2 = 4.3(2.0)
Carte régulière 6-3 2-0.png
6,33 = 6.3(2.0)
Carte régulière 6 4-3 pattern.png
6,43 = 6.4(4.0)
10.35 10,53

Polyèdre sphérique(éditer)

Les neuf polyèdres habituels peuvent également être représentés par des tuiles sphériques (tuiles pour balle):

Polyèdres communs qui ne peuvent exister qu'en tant que polyèdres sphériques(éditer)

Pour un polyèdre régulier dont le symbole Schläfli est m, n, le nombre de faces polygonales peut être trouvé par:

Les solides platoniques connus pour l’antiquité sont les seuls entiers pour m ≥ 3 et n ≥ 3. Limitation m ≥ 3 forces que les faces polygonales doivent avoir au moins trois côtés.

Lorsque vous considérez un polyèdre comme une tuile sphérique, cette limitation peut être assouplie, car les duons (2-gons) peuvent être représentés par des dunes sphériques, qui ont une plage nulle. permettre m = 2 admet une nouvelle classe infinie de polyèdres réguliers, hosohedra. Sur une surface sphérique, le polyèdre commun 2, n est représenté par n sons adjacents, avec des angles internes de 2π/n. Toutes ces lumières partagent deux coins communs.(8)

Un dièdre ordinaire, n, 2(8) (2-hedron) dans un espace euclidien tridimensionnel peut être considéré comme un prisme dégénéré composé de deux (plans) n-Polones polygones connectés "dos à dos", de sorte que l'objet résultant n'a pas de profondeur, de la même manière qu'un digone peut être construit avec deux segments. Mais en tant que tuile sphérique, un dièdre peut exister sous forme non formée, avec deux n-Les faces recouvrant la sphère, chaque face est un hémisphère et traverse un grand cercle. C'est régulièrement si les croix sont également distribuées.

Digonal dihedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Digonal_dihedron.png/100px-Digonal_dihedron.png "decoding =" async "width =" 100 "height = "100" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Digonal_dihedron.png/150px-Digonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ 1/17 / Digonal_dihedron.png / 200px-Digonal_dihedron.png 2x "fichier de données width =" 594 "data file height =" 593
Dièdre digonal
2,2
Trigonal dihedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Trigonal_dihedron.png/100px-Trigonal_dihedron.png "decoding =" async "width =" 100 "height = "100" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Trigonal_dihedron.png/150px-Trigonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ 1 / 1f / Trigonal_dihedron.png / 200px-Trigonal_dihedron.png 2x "fichier de données width =" 597 "hauteur du fichier de données =" 599
Dièdre trigonal
3,2
Tetragonal dihedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Tetragonal_dihedron.png/100px-Tetragonal_dihedron.png "decoding =" async "width =" 100 "height = "101" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Tetragonal_dihedron.png/150px-Tetragonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ f / f1 / Tetragonal_dihedron.png / 200px-Tetragonal_dihedron.png 2x "fichier de données width =" 594 "height file =" 600
Dièdre carré
4,2
Penthagonal dihedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Pentagonal_dihedron.png/100px-Pentagonal_dihedron.png "decoding =" async "width =" 100 "height = "99" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Pentagonal_dihedron.png/150px-Pentagonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ 9/92 / Pentagonal_dihedron.png / 200px-Pentagonal_dihedron.png 2x "fichier de données width =" 605 "data file height =" 601
Dièdre pentagonal
5,2
Dihedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Hexagonal_dihedron.png/100px-Hexagonal_dihedron.png "décodage =" asynch "width =" 100 "height = "101" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Hexagonal_dihedron.png/150px-Hexagonal_dihedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ 9/99 / Hexagonal_dihedron.png / 200px-Hexagonal_dihedron.png 2x "fichier de données width =" 597 "data file height =" 601
Dièdre hexagonal
6,2
n, 2
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Hoshéoèdre digonal
2,2
Trigonal hosohedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Trigonal_hosohedron.png/100px-Trigonal_hosohedron.png "decoding =" async "width =" 100 "height = "100" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Trigonal_hosohedron.png/150px-Trigonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ 2 "2e fichier de données width =" 620 "height file =" 622 "/ 2 / 2e / Trigonal_hosohedron.png / 200px-Trigonal_hosohedron.png
Hosohédron trigonal
2,3
Carré sphérique hosohedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Spherical_square_hosohedron.png/100px-Spherical_square_hosohedron.png "decoding =" async "width =" 100 "height = "98" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Spherical_square_hosohedron.png/150px-Spherical_square_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/thumb /6/61/Spherical_square_hosohedron.png/200px-Spherical_square_hosohedron.png 2x "fichier de données width =" 792 "fichier de données height =" 774
Manche carré
2,4
Hosohédron pentagonal sphérique.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/100px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png "decoding =" 100 " = "99" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/150px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb /6/69/Spherical_pentagonal_hosohedron.png/200px-Spherical_pentagonal_hosohedron.png 2x "fichier de données width =" 777 "fichier de données height =" 770
Hosohedron pentagonal
2,5
Hosohedron.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Hexagonal_hosohedron.png/100px-Hexagonal_hosohedron.png "décodage =" asynch "width =" 100 "height = "100" srcset = "// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Hexagonal_hosohedron.png/150px-Hexagonal_hosohedron.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/ 2 "2 fichier de données width =" 620 "fichier de données height =" 622 "2 / 2c / Hexagonal_hosohedron.png / 200px-Hexagonal_hosohedron.png
Hosohedron
2,6
2,n

Hosohedron 2,n est le double du dièdre n, 2. Notez que lorsque n = 2, on obtient le polyèdre 2,2, qui est à la fois atohèdre et dièdre. Tous ont la caractéristique d'Euler 2.

Voir aussi(éditer)

références(éditer)

  1. ^ Chen, Zhibo et Liang, Tian. "Le revers de la théorie de Vivian", Le journal de mathématiques du collège 37 (5), 2006, p. 390-391.
  2. ^ Le canular des solides écossais,
  3. ^ Coxeter, La beauté de la géométrie: douze essais, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Chapitre 5: Polyèdres asymétriques réguliers en trois et quatre dimensions et leurs analogues topologiques, London Mathematics Society, Ser. 2, vol. 43, 1937.)
  4. ^ Les polyèdres réguliers (par index deux), David A. Richter
  5. ^ Polyèdres réguliers d'index deux, je suis Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010
  6. ^ Polyèdres réguliers d'indice deux, II Beitrage zur algebra et geometry 52 (2): 357-387 · novembre 2010, tableau 3, p.27
  7. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002), Polytopes communs abstraits, Encyclopédie des mathématiques et ses utilisations, 92, Cambridge University Press, page 192, ISBN 9780521814966
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  • Bertrand, J. (1858). Notez que vous êtes l’un des régulateurs polyédriques, Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences, 46, pp. 79-82.
  • Cromwell, Peter R. (1997). polyèdres. Cambridge University Press. P. 77. ISBN 0-521-66405-5.
  • Haeckel, E. (1904). La forme d'art de la nature. Disponible en tant que Haeckel, E. Formes d'art dans la nature, Prestel USA (1998), ISBN 3-7913-1990-6, ou en ligne à l'adresse http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html
  • Smith, J.V. (1982). Cristallographie géométrique et structurelle. John Wiley et ses fils.
  • Sommerville, D. M. Y. (1930). Une introduction à la géométrie de n dimensions. E. P. Dutton, New York. (Édition Dover Publications, 1958). Chapitre X: Les polytopes communs.
  • Coxeter, S.S.M. Polytopes réguliers (troisième édition). Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61480-8

Liens externes(éditer)

Les anciennes croyances néolithiques ont gravé des images des composants de la nature sur des boules de pierre pendant un millier d’années avant qu’elles ne soient renommées sous le nom de solides platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont étudié l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs origines à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les composants constituants de la vie représentés par les 4 composants que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a appelé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques précises dans son bouqin Elements. Ce large corpus de connaissances est passé pratiquement sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un container pour chacun des cinq solides de Platon. Il a également essayé de raccorder les solides aux six planètes renommées de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En géométrie euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre fréquent et convexe, dont les faces sont des polygones réguliers et congruents, avec le même nombre de faces se rencontrant à chaque sommet qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait la passion comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble tandis que la lutte les sépare. Les composants ont inspiré l’art, la science et la compréhension de la classe de notre monde. n

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