Origami & Maths | solides de Platon spirituel

Origami & Maths

Donc, vous êtes intéressé par l'origami et les mathématiques … peut-être que vous en êtes un
lycée ou professeur de mathématiques K-8, ou un étudiant en mathématiques fait un rapport
sujet, ou peut-être vous avez toujours été intéressé par les deux et jamais fait
connexion, ou peut-être que vous êtes simplement curieux. Origami a vraiment
beaucoup pédagogique
avantages. Que vous soyez étudiant, enseignant ou simplement informel
Surfer, j'ai essayé de mon mieux pour répondre à vos questions, alors s'il vous plaît lisez
sur.


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et rhombicuboctaèdre

Alors, comment exactement l'origami et les mathématiques sont-ils liés? ils
La connexion avec la géométrie est claire et multidimensionnelle; un modèle plié
est à la fois une œuvre d'art et une figure géométrique. Juste le développer et en prendre un
regardez! Vous verrez un motif géométrique complexe, même si le modèle que vous êtes
plié était simple. Un étudiant débutant en géométrie peut vouloir
Trouve les triangles sur le papier. Quels angles peuvent être vus?
Quelles formes? Comment ont-ils obtenu les angles et les formes là-bas? Le saviez-vous?
que vous pliez ces angles ou formes pendant le pliage lui-même?

Par exemple, lorsque vous pliez la base de la bombe à eau traditionnelle, vous
a créé un motif de huit triangles rectangles congrus. ils
La base traditionnelle des oiseaux produit un motif de boucles avec beaucoup plus
triangles, et chaque pli inversé (comme celui pour faire les oiseaux
cou ou la queue) créer quatre autres! Chaque fondation a un lien
motif géométrique. Prenez un squashfold – quand vous faites cette planche et regardez
sur le motif de la couronne, vous verrez que vous avez divisé un angle en deux,
deux fois! Pouvez-vous trouver des relations similaires entre un pli et
quelque chose que vous connaissez en géométrie? Vous pouvez obtenir encore plus d'idées à partir de cela
présentation sur origamis:
Dans la géométrie croissante dans la salle de classe.

D'autre part, si vous êtes une personne qui aime les énigmes, il
sont un certain nombre de grands origami
défis comme tu pourrais
Profitez d'essayer de résoudre. Ces tâches impliquent de plier un morceau de papier afin
que certains modèles de couleur se produisent, ou de sorte qu'une forme d'une zone particulière
résultats. Mais continuons avec les motifs de la couronne …

Origami, géométrie et théorème de Kawasaki

Un étudiant ou un enseignant en géométrie plus avancé peut vouloir
Examiner plus en profondeur entre les mathématiques et l'origami. vous
peut regarder ces géométrie
exercices pour vous avoir
commencé. Par exemple traditionnel
robinet
(ou un autre vu
des graphiques) le dépliant donne un motif de couronne que nous pouvons
Apprenez beaucoup. Sélectionnez un point (sommet) sur le motif de la couronne. Combien
les boucles viennent de ce sommet? Est-il possible pour un origami plat
modèle pour avoir un nombre étrange de boucles sortant d'un sommet dessus
modèle de couronne? Qu'en est-il de la relation entre montagne et vallée
plis? Pouvez-vous avoir un sommet avec seulement des vallées ou juste des montagnes
plis?

Qu'en est-il des angles autour de ce point? Vous pouvez vraiment impressionner
votre professeur (ou vos étudiants) avec cela … bien sûr, vous devez comprendre
la
Tout d'abord! C'est un
timbre appelé Kawasaki
théorème
, qui dit que si les angles entourent un
Un seul sommet dans un motif origami plat est un1,
un2,
un3,
… un2n,
puis:

un1 +
un3 +
un5 +
… + a2n-1 =
180

et

un2 +
un4 +
un6 +
… + a2n =
180

En d'autres termes, si vous ajoutez les mesures d'angle les unes aux autres
angle autour d'un point, la somme sera de 180. Essayez-le et voyez!

Pouvez-vous voir que cela est vrai, ou mieux encore, pouvez-vous le prouver?

Straight Edge et Compass contre les Axiomes de Origami et de Huzitas

Bien qu'il y ait beaucoup à comprendre sur les modèles de couronne,
L’origami lui-même est l’acte de plier le papier, ce qui mathématiquement peut
est compris en termes de construction géométrique. Le plus connu
la construction est la construction "bord droit et boussole" qui se réfère à
aux opérations géométriques qui peuvent être formés avec seulement les deux
instruments (notez que le bord droit est pas un
règle avec marques de longueur). Il est bien connu que les constructions SE & C
peut inclure (sans jeu de mots) de quatre axiomes de base, définis en premier
d’Euclide, il ya plus de 2000 ans. Il est également bien connu que c'est
certaines opérations qui sont impossibles étant donné seulement un bord droit et
boussole. Deux opérations de ce type dessinent un angle et doublent un dé
(trouvez la racine cubique de 2).

Mais revenons à la construction en origami … la construction en origami est définie
comme les opérations géométriques qui peuvent être formées en pliant une pièce
papier, en utilisant des bords bruts et des points dans le papier, ainsi que tout
lignes de couronne et points ultérieurs créés lors du pliage. Quel est
La construction en origami est fascinante, même si au premier abord cela peut sembler
moins puissant que SE & C, est en réalité plus puissant, donc les deux
trisection de l'angle et le doublement de la matrice. ils
Le mathématicien Humiaki Huzita a développé six axiomes (et plus tard un septième)
basé sur la construction d'origami. Je ne vais pas entrer dans les détails ici,
Comme ci-dessous sont des liens vers quelques sites qui ont très approfondie
descriptions de l'axe de Huzita:

  • Les axiomes de Huzita, gracieuseté de Wikipedia

  • Vue d'ensemble de Tom Hull origami
    et la construction géométrique, qui donne de grandes descriptions
    exercices pour les 5e et 6e axiomes, ainsi que des descriptions de
    comment faire pivoter l'angle et doubler un cube par pliage

  • La page de Koshiro Hatori sur Origami Construction décrit
    Huzita est six axiomes ainsi qu'un septième axiome comme Hatori-san
    découvert!

  • Christian Lavoie a mis au point un modèle informatique Origami pour un
    cours de géométrie computationnelle à l’Université McGill en 2002.
    Le fond de ce projet lui donne axiomes
    d'origami
    avec
    graphiques et équations.

Ce qui est particulièrement bien dans tout cela, c’est que ces axiomes sont
Non seulement théoriquement, ils ont été mis en service! Robert Lang est
programme d'origami, Référence Finder,
utilise les sept axiomes. ReferenceFinder est un programme qui trouve
séquences de pliage pour approcher n'importe quel point d'un carré à l'aide d'un
petit nombre de plis.

Origami et topologie

L’étude de l’origami et des mathématiques peut être classée comme
topologie, bien que certains estiment qu'elle est plus étroitement alignée
la combinatoire, ou plus spécifiquement la théorie des graphes. Je veux en donner un
Exemple de théorème d’origami visible des deux côtés de
voir, mais d'abord un peu de topologie.

Le lien avec la topologie est moins clair que le composé
avec la géométrie, probablement parce que la plupart sont beaucoup moins familiers avec
cette terre. Si vous êtes étudiant, faites un rapport sur l’origami et les mathématiques, vous
peut encore impressionner votre professeur en montrant que vous savez quelle topologie
est et comment il est lié à l'origami.

Alors, quelle est la topologie? En voici un court
et réponse idiosyncratique
Mais vous devriez vraiment lire Neil
La réponse complète de Strickland avec des images. Il est important que vous
comprendre que la géométrie et la topologie sont très différentes. La topologie est
parfois appelée "géométrie de feuille de caoutchouc", ce qui signifie en topologie,
Étirer un objet ou changer de forme ne l’affectera pas (si longtemps
puisque vous ne faites pas de trous ou de correctifs). À un topologue,
une tasse de café et un beignet sont les mêmes, alors qu'un géomètre les voit comme
complètement différent.

Si vous lisez la réponse de Neil, remarquez qu'il a parlé d'un métro
Carte, qui est juste un réseau de points associés à des lignes, tout comme un
motif couronne origami! L'étude des modèles de boucles d'origami peut nous aider
En savoir plus sur les réseaux tels que les réseaux de métro et de téléphone et sur la création de
les plus rapides et plus efficaces. Mais ne me croyez pas sur parole. Thomas
Hull, professeur adjoint de mathématiques au Merrimack College in
North Andover, dans le Massachusetts, est un expert en origami et
topologie. Tom suit actuellement un cours de géométrie combinatoire,
et vous pouvez voir le cours programme
et tâches. Si vous voulez faire des recherches plus approfondies
Ce champ, votre première étape devrait être de contacter Tom. son
site Web était lisse
mentionné dans un
l'histoire à ABCnews.com!

Revenons maintenant à la déclaration d'Origami que j'ai mentionnée plus tôt, laquelle
peut être vu de deux points de vue.

théorème: chaque
Le modèle de boucle pliable à plat est en 2 couleurs.

En d'autres termes, supposons que vous ayez plié un modèle d'origami
plat. Si vous dépliez complètement le modèle, c'est le motif que vous avez
verra avoir une particularité. Si vous souhaitez colorier dans les régions de
votre motif de couronne avec des couleurs différentes, donc pas de régions de deux frontières
Avoir la même couleur, vous juste
a besoin de deux couleurs
. Cela peut vous rappeler le célèbre cartographe
Problème: Quel est le nombre minimum de couleurs dont vous avez besoin pour colorer des terres
sur une carte (encore une fois, donc deux pays voisins ne sont pas les mêmes
couleur)? Ceci est connu comme quatre
test de couleur
, puisque la réponse est quatre couleurs. Comme un intéressant
De plus, cette théorie a été démontrée en 1976 par des mathématiciens américains.
et Haken utilise un ordinateur pour vérifier des milliers de cas différents
impliqués. Vous pouvez apprendre
plus sur ces preuves
si tu veux.

Mais revenons à notre théorème.
Pouvez-vous voir que vous n'avez besoin que de deux couleurs pour colorer un motif de couronne? essayer
c'est vous-même! Vous verrez que tout ce que vous pliez (tant que cela se trouve
plat) seulement besoin de deux couleurs pour colorer dans les régions de la boucle
motif.

Voici un moyen facile de regarder: plier quelque chose à plat. maintenant
colorier toutes les régions vers vous rouge et celles en face
bleu de table (n'oubliez pas de colorier un seul côté du papier). Quand vous
déplier, vous verrez que vous avez une bonne teinture 2!

Attention … cette partie devient encore plus compliquée! Un plus strict
La preuve est la suivante: montrez d’abord chaque sommet de votre couronne
Le motif a un degré uniforme (le degré est le nombre de boucles qui sortent
de chaque sommet – nous en avons discuté plus tôt!). Alors tu connais le curl
motif est un graphe eulérien, c’est-à-dire un graphe contenant un chemin qui
commence et se termine au même point et parcourt chaque bord (tel que
chemin s'appelle un cycle eulérien). pas
Essayez de le prouver, sauf si vous êtes un mathématicien expérimenté!
enfin,
Il est bien connu que les graphes eulériens ont 2 couleurs.

Hmmm … j'ai commencé par promettre un résultat qui peut être vu comme
combinatoire et topologique. Avons-nous l'obtenir? Eh bien, le résultat est
clairement combinatoire, puisqu'il s'agit de la théorie des graphes. Comment est le résultat a
topologiquement un? Eh bien, la mort en 2 nous donne un moyen facile de
Déterminez l’orientation de chaque région dans laquelle nous colorons. Toutes les régions
la couleur bleue augmentera (ou baissera) tandis que toutes les régions seront colorées en rouge
fera face à la voie opposée. Essayez le! Cette fois, pliez un modèle, dépliez-vous
Ceci et colore les zones de motif avec du rouge et du bleu. Eh bien, replier
Le modèle et cherchez vous-même!

Autres ressources


Tour de fleurs Chris Palmer

La plupart des gens ne se rendent pas compte de la quantité d'informations qu'il contient sur le sujet
des mathématiques et de l'origami. Il y a des livres et des articles publiés sur
Sujet, présentations et conférence internationale
appelé "La réunion internationale de la science et de la technologie d'Origami". en
En fait, de nombreux créateurs et auteurs d'origami ici aux États-Unis et à l'étranger
sont des mathématiciens, physiciens et autres chercheurs. Je pense
des gens comme Robert Lang, Jun Maekawa, Toshikazu Kawasaki et Thomas
coque
. Une autre figure mathématique en origami sans mathématiques formelles
la formation est Chris
Palmer
(voir aussi cette
article sur Chris
), le créateur de fleur
tour
(voir photo).

En ce qui concerne les livres, les premiers à penser sont un ensemble de livres
par Rona Gurkewitz et Bennett Arnstein: 3D
Origami Géométrique: Polyèdres Modulaires
, modulaire
Polyèdres Origami
, et publié seulement en 2003, multimodal
Polyèdres en origami: archimédiens, buckyballs et dualité
. Vous pouvez apprendre
plus sur le travail du professeur Gurkewitz
et des galeries d'exposition,
liens, et plus.

Certains autres livres en origami traitent du lien avec
les mathématiques sont origami
omnibus
par Kunihiko
Kasahara (ISBN 0-87040-699-x), origami
des anges au zen
de
Peter Engel (ISBN 0-486-28138-8), lumière
origami
par Gay Merrill Gross et Tina Weintraub, et mat
en mouvement: Origami en classe de la maternelle à la 8e année
de
Barbara Pearl (ISBN 0-9647924-3-5). Site web pour mat
en mouvement
même inclure un
Essayez le plan de leçon pour les enseignants. Si vous apprenez les grades K-8, alors ceci
Le livre peut être ce que vous recherchez.

Le premier livre que j'ai mentionné, origami
omnibus
discute de sujets
comme le pliage de la zone iso, le rectangle doré, plie un
pentagone d'un carré et théorème de Kawasaki. Le livre est sorti
Imprimez, mais vous pouvez probablement vous en procurer à la bibliothèque locale ou à l’extérieur.
interbibliotekslån.

La prochaine, "Origami de Angelfish au Zen" a un fantastique
Introduction appelée "Crossing the Divide" qui discute de
la relation entre l'origami et des sujets tels que MC Escher, la philosophie zen,
fractales et chaos, musique et art. Une excellente introduction à l'origami
et les mathématiques. Ce livre devrait être disponible dans des endroits comme Amazon.com, sasuga
librairie
et fascinant
Dossier.

Origami simple, off
Gay Merrill Gross et Tina Weintraub (ISBN 0-590-53549-8), est un classeur
de projets pour les enseignants de la maternelle à la 6e année, dont beaucoup ont un contenu mathématique de base.

J'ai aussi entendu de bonnes choses à propos de Pliage de papier,
une méthode amusante et efficace pour apprendre les mathématiques
. C'est bien toile
site Web
, qui vaut le détour.

Un autre nouveau livre est mathématique
origami
par David Mitchell (ISBN 1-899618-18-X). Connu pour lui
Conception modulaire et sculptures, David donne dans ce livre les instructions
pour les solides platoniques et leurs variantes, ainsi que pour d’autres géométriques
formes telles que bagues, étoiles, formes rhombiques, squelettes et contours
solides.

Vous pouvez trouver une liste de plusieurs livres ayant mûri en origami vide
Coques Origami Bibiliographie

Il existe également un certain nombre de bons endroits pour commencer en ligne
regarder. vide
Le site Origami Math de Hull
, comme je l'ai déjà mentionné quelques
fois, la dernière ressource est en ligne pour l'origami et
mathématiques. Tom Hull a fait un travail assez avancé sur le sujet.
Ses papiers origami-matte sont apparus à l'auberge MAA
(Société mathématique d'Amérique)
journaux.
Il a écrit sur des sujets tels que la construction d'origami vs règle / boussole
constructivité et origami et topologie.

Je peux aussi vous parler de Helena
Page Origami Verrilles
, qui contient des informations sur l'origami modulaire,
tesselations origami et problèmes de tesselation mathématiques origami, ainsi que
d'autres tapis d'origami tels que la trisection d'angle et le périmètre
problème. De bonnes choses pour un projet de lycée!

Un autre côté intéressant (surtout si vous aimez les fractales) est Jeannine
Carte de visite de Mosely Menger Mushroom Project
, comme le but est
construire une éponge de mixage avec une profondeur de 3 origami modulaire sur 66,048
cartes de visite.

Un ajout récent au Web est Krystyna
Burczyks Origami Gallery
, qui montre les modules, les habituels
polyèdre et polyèdre semi-régulier. Vous pouvez apprendre beaucoup ici; comment
un bulletin scolaire avec le mot "rhombicosadodécaèdre" peut devenir pauvre
classe?

Wolfram Research a un côté
à propos de l'origami et du tapis
qui
a des images, répertorie les axiomes de Huzita, et fournit beaucoup plus
références.

Un autre excellent site est géométrie
Junkyard
, qui fournit un certain nombre de liens vers divers sujets dans
origami et maths.

Enfin, si vous avez encore faim pour plus, vérifiez vide
Liens Coques Origami Math
. Lorsque vous avez terminé ces sites,
Vous devriez avoir beaucoup de bonnes idées pour ce rapport, projet ou leçon
planifier!

J'espère que cela vous donne une bonne vue d'ensemble
du thème de l'origami et des mathématiques. Je vais continuer à mettre à jour ce
page que plusieurs sites Web sur ce sujet sont affichés. Si vous avez des commentaires ou
suggestions pour moi, s'il vous plaît laissez-moi un mot.

Les anciennes coutumes néolithiques ont gravé des clichés des composants de la nature sur des boules de pierre un millier d’années avant qu’elles ne soient renommées sous l’appelation de solides platoniques. Les philosophes et les mathématiciens grecs ont diagnostiqué l’idée des formes primaires. Certains attribuent leurs sources à Pythagore ( 570-495 av. J. -C. ), Empedocle ( 490-430 av. J. -C. ) ou Theaetetus ( 417-369 av. J. -C. ). Platon ( 424-347 av. J. -C. ), un étudiant de Socrate, en a beaucoup parlé dans son dialogue avec Timée. Il les a décrits comme les composants constituants de la vie représentés par les quatre composants que sont la terre, l’eau, le feu et l’air. Aristote a identifié un cinquième élément qu’il a appelé Aether. Euclide ( 323-283 av. J. -C. ) les réunit, les nomme les Solides de Platon et leur donne des descriptions mathématiques ciblées dans son bouqin Elements. Ce large corpus de connaissances est passé pratiquement sous terre jusqu’à ce que Johannes Kepler ( 1571-1630 ), un astronome allemand, considère la sphère comme un container pour chacun des cinq robustes de Platon. Il a également essayé de lier les solides aux six planètes renommées de Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne. En forme euclidienne, un solide de Platon est défini comme un polyèdre annuel et convexe, dont les faces sont des polygones constants et congruents, avec le même nombre de faces se rencontrant à chaque plus haut qui s’inscrivent dans une sphère. Empedocle voyait l’amour comme le pouvoir qui attire ces formes ensemble tandis que la bataille les sépare. Les composants ont inspiré l’art, la science et la gestion de l’élégance de notre univers. n

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