En géométrie, une Solide archimédien est l'un des 13 solides répertoriés par Archimède. Il s’agit du polyèdre convexe semi-régulier constitué de polygones réguliers se rejoignant à des angles identiques, à l’exception des 5 solides platoniques (composés d’un seul type de polygone) et à l’exclusion des prismes et des anti-prismes. Ils diffèrent des solides de Johnson, dont les faces polygonales communes ne se rencontrent pas dans des angles identiques.
"Coins identiques" signifie que les deux verticales sont symétriques l'une par rapport à l'autre: une isométrie globale du solide entier place un sommet à l'autre tout en plaçant le solide directement dans sa position d'origine. Branko Grünbaum (2009) a observé qu'un 14ème polyèdre, le gyrobicupole carré allongé (ou tubo-hémahèdre pseudo-rhombique), répond à une définition plus faible du solide arkimédien, où "les mêmes sommets" signifient simplement que les faces entourant chaque sommet sont identiques. type (c’est-à-dire que chaque sommet a la même apparence de près), de sorte que seule l’isométrie locale est nécessaire. Grünbaum a signalé une erreur fréquente selon laquelle les auteurs définissent les solides archimédiens à l'aide de cette définition locale, mais omet le 14ème polyèdre. Si seuls 13 polyèdres doivent être répertoriés, la définition doit utiliser des symétries globales du polyèdre au lieu de voisins.
Les prismes et les anti-prismes, dont les groupes de symétrie sont les groupes dièdres, ne sont généralement pas considérés comme des solides armés, bien que leurs faces soient des polygones communs et que leurs groupes de symétrie agissent de manière transitoire sur leurs angles. Outre ces deux familles infinies, il existe 13 arkimédées solides. Tous les solides archimédiens (mais pas le gyrobicupola carré allongé) peuvent être préparés via des constructions de Wythoff à partir des solides platoniques à symétrie tétraédrique, octaédrique et isosdadique.
Origine du nom(éditer)
Les noms solides d’Archimède d’Archimède, qui en ont discuté dans un emploi avec perte de temps. Pappus s'y réfère et dit qu'Archimède a répertorié 13 polyèdres.(1) A la Renaissance, artistes et mathématiciens sont appréciés formes pures avec une symétrie élevée, et vers 1620, Johannes Kepler avait achevé la redécouverte des 13 polyèdres,(2) ainsi que des prismes, des antiprismes et des solides non convexes appelés polyèdres de Kepler-Poinsot.
Le lecteur trouvera plus d'informations sur la redécouverte des solides d'Arkimesic à la Renaissance dans l'article de Peter Schreiber et al., Publié en 2008 (voir les références ci-dessous).
Kepler a peut-être également trouvé le gyrobicupola carré allongé (pseudorhombicuboctaèdre): il a au moins dit une fois qu'il y avait 14 solides de l'arkimède. Cependant, son résumé publié ne contient que 13 polyèdres uniformes et la première déclaration claire de l'existence du bacaèdre pseudorhomique a été faite en 1905 par Duncan Sommerville.(1)
classification(éditer)
Il y a 13 arkimédées solides (sans compter le gyrobicupole carré allongé; 15 si les images inversées de deux énantiomorphes, le cube adouci et le snubdodécaèdre sont comptés séparément).
ici configuration de sommet fait référence au type de polygones communs qui se rencontrent à un sommet donné. Par exemple, une configuration de sommet de (4,6,8) signifie qu'un carré, un hexagone et un octogone se rencontrent au niveau d'un sommet (dans le sens des aiguilles d'une montre autour du sommet).
| nom (Nom alternatif) |
Schläfli Coxeter |
transparent | réel | nett | sommet conf./fig. |
visages | bords | Vert. | volume (Bords Unité) |
Punkt groupe |
sphéricité | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| tétraèdre tronqué | t 3.3 |
3.6.6 |
8 | 4 triangles 4 hexagones |
18 | 12 | 2710576 | Tré | 07754132 | |||
| cuboctaèdre (Rhombitetratetrahedron) |
r 4.3 ou rr 3.3 |
3.4.3.4 |
14 | 8 triangles 6 carrés |
24 | 12 | 2357023 | Oh | 09049973 | |||
| cube coiffé | t 4.3 |
3.8.8 |
14 | 8 triangles 6 octaves |
36 | 24 | 13599663 | Oh | 08494937 | |||
| octaèdre tronqué (tétratétraèdre tronqué) |
t 3.4 ou tr 3.3 |
4.6.6 |
14 | 6 carrés 8 hexagones |
36 | 24 | 11313709 | Oh | 09099178 | |||
| rhombicuboctaèdre (petit rhombicuboctaèdre) |
rr 4.3 |
3.4.4.4 |
26 | 8 triangles 18 carrés |
48 | 24 | 8714045 | Oh | 09540796 | |||
| cuboctaèdre coiffé (beau cèdre tuba rhombique) |
tr 4.3 |
4.6.8 |
26 | 12 carrés 8 hexagones 6 octaves |
72 | 48 | 41798990 | Oh | 09431657 | |||
| petit cube (snub cuboctahedron) |
sr 4.3 |
3.3.3.3.4 |
38 | 32 triangles 6 carrés |
60 | 24 | 7889295 | O | 09651814 | |||
| icosidodécaèdre | r 5.3 |
3.5.3.5 |
32 | 20 triangles 12 pentagones |
60 | 30 | 13835526 | Jeh | 09510243 | |||
| dodécaèdre tronqué | t 5.3 |
03.10.10 |
32 | 20 triangles 12 décagones |
90 | 60 | 85039665 | Jeh | 09260125 | |||
| icosaèdre tronqué | t 3,5 |
5.6.6 |
32 | 12 pentagones 20 hexagones |
90 | 60 | 55287731 | Jeh | 09666219 | |||
| rhombicosidodécaèdre (petit rhombicosidodécaèdre) |
rr 5.3 |
3.4.5.4 |
62 | 20 triangles 30 carrés 12 pentagones |
120 | 60 | 41615324 | Jeh | 09792370 | |||
| icosidodécaèdre tronqué (beau rhombicosidodécaèdre) |
tr 5.3 |
4.6.10 |
62 | 30 carrés 20 hexagones 12 décagones |
180 | 120 | 206803399 | Jeh | 09703127 | |||
| Dodécaèdre adouci (snub icosidodécaèdre) |
sr 5.3 |
3.3.3.3.5 |
92 | 80 triangles 12 pentagones |
150 | 60 | 37616650 | Je | 09820114 | |||
Certaines définitions du polyèdre semi-régional comprennent une autre figure, le gyrobicupole carré allongé ou "pseudo-rhombicuboctaèdre".(3)
propriétés(éditer)
Le nombre de croix est 720 ° divisé par l'erreur d'angle de sommet.
Le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre sont sans frontière et sont appelés quasi-communs.
Les duels des solides archimédiens sont appelés solides catalans. Avec les bipyramides et les trapèzes, ce sont les solides du visage aux angles fixes.
chiralité(éditer)
Le cube adouci et le dodécaèdre adouci sont appelés chirale, comme ils viennent dans une forme gaucher (latin: levomorph ou laevomorph) et droitier (latin: dextromorph).(autre explication nécessaire) Lorsque quelque chose vient sous plusieurs formes qui sont l'image miroir tridimensionnelle de l'autre, ces formes peuvent être appelées énantiomorphes. (Cette nomenclature est également utilisée pour les formes de certains composés chimiques).
Construction de solides arkimédiens(éditer)
Les différents solides archimoniques et platoniques peuvent être liés les uns aux autres par une poignée de constructions générales. Le début d'un solide platonique implique un raccourcissement de la coupe des angles. Pour préserver la symétrie, on découpe un plan perpendiculaire à la ligne qui se fixe au coin du centre du polyèdre et est identique pour tous les coins. En fonction de la quantité tronquée (voir tableau ci-dessous), divers solides platoniques et armés (et autres) peuvent être créés. Si la troncature est suffisamment profonde pour que chaque paire de faces d'angle adjacents divise exactement un point, on parle alors de correction. Une expansion ou une cantellation implique d'éloigner chaque face du centre (à la même distance pour préserver la symétrie du solide platonique) et de prendre la coque convexe. L'expansion par torsion implique également la rotation des faces, divisant ainsi chaque rectangle correspondant à une arête en deux triangles au niveau de l'une des diagonales du rectangle. La dernière construction que nous utilisons ici est le raccourcissement des angles et des arêtes. En ignorant la mise à l'échelle, l'expansion peut également être facilitée pour la correction. De même, la cantitration peut être considérée comme un raccourcissement de la réaction.
| symétrie | tétraèdre |
octaèdre |
icosaèdre |
|||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Commence solide opérations |
symbole P, q |
tétraèdre 3,3 |
cube 4,3 |
octaèdre 3,4 |
dodécaèdre 5,3 |
icosaèdre 3,5 |
| Abréviation (t) | t p, q |
tétraèdre tronqué |
cube coiffé |
octaèdre tronqué |
dodécaèdre tronqué |
icosaèdre tronqué |
| Rectification (s) Ambo (a) |
r p, q |
tetratetrahedron (Octahedron) |
cuboctaèdre |
icosidodécaèdre |
||
| Bituncation (2h) Double cercueil (com) |
2t p, q |
tétraèdre tronqué |
octaèdre tronqué |
cube coiffé |
icosaèdre tronqué |
dodécaèdre tronqué |
| Réalisation (2r) Double (d) |
2r p, q |
tétraèdre |
octaèdre |
cube |
icosaèdre |
dodécaèdre |
| cantellation (rr) Expansion (s) |
rr p, q |
rhombitetratetrahedron (Cuboctaèdre) |
rhombicuboctaèdre |
rhombicosidodécaèdre |
||
| Snub corrigé (sr) Snub (s) |
sr p, q |
snubtetratetrahedron (Icosahedron) |
snub cuboctaèdre |
snob icosidodécaèdre |
||
| Cantitruncation (tr) Commande (b) |
tr p, q |
tétrathétraèdre tronqué (octaèdre tronqué) |
cuboctaèdre coiffé |
icosidodécaèdre tronqué |
||
Remarquez la dualité entre le cube et l'octaèdre et entre le dodécaèdre et l'icosaèdre. Aussi en partie parce que le tétraèdre est en train de se dédoubler, un seul solide arkédien qui présente la symétrie la plus tétraédrique. (Tous les solides platoniques ont au moins une symétrie tétraédrique, car la symétrie tétraédrique est une opération de symétrie de symétries octaédriques et isohédrales (incluses), comme le montre le fait qu’un octaèdre peut être considéré comme un tétraèdre dirigé et un isoèdre peut être utilisé comme un adepte tétraèdre.)
Voir aussi(éditer)
- ^ un b Grünbaum (2009).
- ^ Field J., redécouverte des polyèdres archimédiens: Piero Della Francesca, Luca Pacioli, Léonard de Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro et Johannes Kepler, Archive pour l'histoire des sciences exactes, 50, 1997, 227
- ^ Malkevitch (1988), 85
références(éditer)
- Grünbaum, Branko (2009), "Une erreur durable", Éléments de mathématiques, 64 (3): 89-101, doi: 10,4171 / EM / 120, MR 2520469. Reproduit dans Pitici, Mircea, éd. (2011) La meilleure écriture en mathématiques 2010, Princeton University Press, p. 18-31.
- Jayatilake, Udaya (mars 2005). "Calculs de face et de pointe régulièrement de polyèdres". Gazette mathématique. 89 (514): 76-81..
- Malkevitch, Joseph (1988), "Les jalons de l'histoire des polyèdres", dans Sénéchal, M.; Fleck, G. (eds.), Aménagement de la salle: une approche polyédrique, Boston: Birkhäuser, pp. 80-92.
- Pugh, Anthony (1976). Polyèdres: une approche visuelle. Californie: Presses de l'Université de Californie à Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapitre 2
- Williams, Robert (1979). Le fondement géométrique de la structure naturelle: un livre source pour le design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
- Schreiber, Peter; Fischer, Gisela; Sternath, Maria Luise (2008). "Nouvel éclairage sur la redécouverte des solides d'Arkimesic à la Renaissance". Archive pour l'histoire des sciences exactes. 62 (4): 457 à 467. doi: 10,1007 / s00407-008-0024-z. ISSN 0003-9519..
Liens externes(éditer)
tout au long de votre voyage d’apprentissage des cristaux, vous avez sans doute rencontré des mots et des conversations étranges que vous n’auriez sans doute jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les robustes de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta géométrie après le lycée ! Alors, que sont exactement les robustes de Platon ? En matière simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, aspect, feu et eau ) étaient directement liés aux solides. il existe cinq solides de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à le composant feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à l’élément de l’air. Les icosaèdres ( composés de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à le composant eau. Le dernier et souvent nommé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été nommé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à le composant d’éther. n
















