Solide d'Archimède – Wikipedia | Géometrie sacrée

En géométrie, une Solide archimédien est l'un des 13 solides répertoriés par Archimède. Il s’agit du polyèdre convexe semi-régulier constitué de polygones réguliers se rejoignant à des angles identiques, à l’exception des 5 solides platoniques (composés d’un seul type de polygone) et à l’exclusion des prismes et des anti-prismes. Ils diffèrent des solides de Johnson, dont les faces polygonales communes ne se rencontrent pas dans des angles identiques.

"Coins identiques" signifie que les deux verticales sont symétriques l'une par rapport à l'autre: une isométrie globale du solide entier place un sommet à l'autre tout en plaçant le solide directement dans sa position d'origine. Branko Grünbaum (2009) a observé qu'un 14ème polyèdre, le gyrobicupole carré allongé (ou tubo-hémahèdre pseudo-rhombique), répond à une définition plus faible du solide arkimédien, où "les mêmes sommets" signifient simplement que les faces entourant chaque sommet sont identiques. type (c’est-à-dire que chaque sommet a la même apparence de près), de sorte que seule l’isométrie locale est nécessaire. Grünbaum a signalé une erreur fréquente selon laquelle les auteurs définissent les solides archimédiens à l'aide de cette définition locale, mais omet le 14ème polyèdre. Si seuls 13 polyèdres doivent être répertoriés, la définition doit utiliser des symétries globales du polyèdre au lieu de voisins.

Les prismes et les anti-prismes, dont les groupes de symétrie sont les groupes dièdres, ne sont généralement pas considérés comme des solides armés, bien que leurs faces soient des polygones communs et que leurs groupes de symétrie agissent de manière transitoire sur leurs angles. Outre ces deux familles infinies, il existe 13 arkimédées solides. Tous les solides archimédiens (mais pas le gyrobicupola carré allongé) peuvent être préparés via des constructions de Wythoff à partir des solides platoniques à symétrie tétraédrique, octaédrique et isosdadique.

Origine du nom(éditer)

Les noms solides d’Archimède d’Archimède, qui en ont discuté dans un emploi avec perte de temps. Pappus s'y réfère et dit qu'Archimède a répertorié 13 polyèdres.(1) A la Renaissance, artistes et mathématiciens sont appréciés formes pures avec une symétrie élevée, et vers 1620, Johannes Kepler avait achevé la redécouverte des 13 polyèdres,(2) ainsi que des prismes, des antiprismes et des solides non convexes appelés polyèdres de Kepler-Poinsot.
Le lecteur trouvera plus d'informations sur la redécouverte des solides d'Arkimesic à la Renaissance dans l'article de Peter Schreiber et al., Publié en 2008 (voir les références ci-dessous).

Kepler a peut-être également trouvé le gyrobicupola carré allongé (pseudorhombicuboctaèdre): il a au moins dit une fois qu'il y avait 14 solides de l'arkimède. Cependant, son résumé publié ne contient que 13 polyèdres uniformes et la première déclaration claire de l'existence du bacaèdre pseudorhomique a été faite en 1905 par Duncan Sommerville.(1)

classification(éditer)

Il y a 13 arkimédées solides (sans compter le gyrobicupole carré allongé; 15 si les images inversées de deux énantiomorphes, le cube adouci et le snubdodécaèdre sont comptés séparément).

ici configuration de sommet fait référence au type de polygones communs qui se rencontrent à un sommet donné. Par exemple, une configuration de sommet de (4,6,8) signifie qu'un carré, un hexagone et un octogone se rencontrent au niveau d'un sommet (dans le sens des aiguilles d'une montre autour du sommet).

nom
(Nom alternatif)
Schläfli
Coxeter
transparent réel nett sommet
conf./fig.
visages bords Vert. volume
(Bords Unité)
Punkt
groupe
sphéricité
tétraèdre tronqué t 3.3
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Tétraèdre tronqué Cog-scénarisé-svg-blue.svg Polyèdre tronqué 4a max.png Polyèdre coiffé 4a net.svg 3.6.6
Polyèdre coiffé 4a vertfig.png
8 4 triangles
4 hexagones
18 12 2710576 T 07754132
cuboctaèdre
(Rhombitetratetrahedron)
r 4.3 ou rr 3.3
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png ou CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
cuboctaèdre Cog-scénarisé-svg-blue.svg Polyèdre 6-8 max.png Polyèdre 6-8 net.svg 3.4.3.4
Polyèdre 6-8 vertfig.png
14 8 triangles
6 carrés
24 12 2357023 Oh 09049973
cube coiffé t 4.3
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Hexaèdre raccourci Cog-scénarisé-svg-blue.svg Polyèdre coiffé 6 max.png Polyèdre coiffé 6 net.svg 3.8.8
Polyèdre coiffé 6 vertfig.png
14 8 triangles
6 octaves
36 24 13599663 Oh 08494937
octaèdre tronqué
(tétratétraèdre tronqué)
t 3.4 ou tr 3.3
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png ou CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Octaèdre raccourci Cog-scénarisé-svg-blue.svg Polyèdre tronqué 8 max.png Polyèdre coiffé 8 net.svg 4.6.6
Polyèdre plafonné 8 vertfig.png
14 6 carrés
8 hexagones
36 24 11313709 Oh 09099178
rhombicuboctaèdre
(petit rhombicuboctaèdre)
rr 4.3
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
rhombicuboctaèdre Cog-scénarisé-svg-blue.svg Polyèdre petit losange 6-8 max.png Polyèdre petit losange 6-8 net.svg 3.4.4.4
Polyèdre petit losange 6-8 vertfig.png
26 8 triangles
18 carrés
48 24 8714045 Oh 09540796
cuboctaèdre coiffé
(beau cèdre tuba rhombique)
tr 4.3
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Cuboctaèdre coiffé Cog-scénarisé-svg-blue.svg Polyèdre gros losanges 6-8 max.png Polyèdre grand losange 6-8 net.svg 4.6.8
Polyèdre de grands losanges 6-8 vertfig light.png
26 12 carrés
8 hexagones
6 octaves
72 48 41798990 Oh 09431657
petit cube
(snub cuboctahedron)
sr 4.3
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Hexaèdre snub (Ccw) Cog-scénarisé-svg-blue.svg Polyhedron snub 6-8 again max.png Le polyèdre recule encore 6-8 net.svg 3.3.3.3.4
Polyhedron snub 6-8 again vertfig.png
38 32 triangles
6 carrés
60 24 7889295 O 09651814
icosidodécaèdre r 5.3
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
icosidodécaèdre Cog-scénarisé-svg-blue.svg Polyèdre 12-20 max.png Polyèdre 12-20 net.svg 3.5.3.5
Polyèdre 12-20 vertfig.png
32 20 triangles
12 pentagones
60 30 13835526 Jeh 09510243
dodécaèdre tronqué t 5.3
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Dodecaderone raccourci Cog-scénarisé-svg-blue.svg Polyèdre tronqué 12 max.png Polyèdre tronqué 12 net.svg 03.10.10
Polyèdre tronqué 12 vertfig.png
32 20 triangles
12 décagones
90 60 85039665 Jeh 09260125
icosaèdre tronqué t 3,5
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Icosaèdre tronqué Cog-scénarisé-svg-blue.svg Polyèdre tronqué 20 max.png Polyèdre tronqué 20 net.svg 5.6.6
Polyèdre tronqué 20 vertfig.png
32 12 pentagones
20 hexagones
90 60 55287731 Jeh 09666219
rhombicosidodécaèdre
(petit rhombicosidodécaèdre)
rr 5.3
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
rhombicosidodécaèdre Cog-scénarisé-svg-blue.svg Polyèdre petit losange 12-20 max.png Polyèdre petit losange 12-20 net.svg 3.4.5.4
Polyèdre petit losange 12-20 vertfig.png
62 20 triangles
30 carrés
12 pentagones
120 60 41615324 Jeh 09792370
icosidodécaèdre tronqué
(beau rhombicosidodécaèdre)
tr 5.3
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Icosidodécaèdre tronqué Cog-scénarisé-svg-blue.svg Polyèdre gros losanges 12-20 max.png Grand losange en polyèdre 12-20 net.svg 4.6.10
Polyèdre gros losanges 12-20 vertfig light.png
62 30 carrés
20 hexagones
12 décagones
180 120 206803399 Jeh 09703127
Dodécaèdre adouci
(snub icosidodécaèdre)
sr 5.3
CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Dodécaèdre adouci (Cw) Cog-scénarisé-svg-blue.svg Polyèdre snub 12-20 again max.png Polyèdre snub 12-20 gauche net.svg 3.3.3.3.5
Polyhedron snub 12-20 again vertfig.png
92 80 triangles
12 pentagones
150 60 37616650 Je 09820114

Certaines définitions du polyèdre semi-régional comprennent une autre figure, le gyrobicupole carré allongé ou "pseudo-rhombicuboctaèdre".(3)

propriétés(éditer)

Le nombre de croix est 720 ° divisé par l'erreur d'angle de sommet.

Le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre sont sans frontière et sont appelés quasi-communs.

Les duels des solides archimédiens sont appelés solides catalans. Avec les bipyramides et les trapèzes, ce sont les solides du visage aux angles fixes.

chiralité(éditer)

Le cube adouci et le dodécaèdre adouci sont appelés chirale, comme ils viennent dans une forme gaucher (latin: levomorph ou laevomorph) et droitier (latin: dextromorph).(autre explication nécessaire) Lorsque quelque chose vient sous plusieurs formes qui sont l'image miroir tridimensionnelle de l'autre, ces formes peuvent être appelées énantiomorphes. (Cette nomenclature est également utilisée pour les formes de certains composés chimiques).

Construction de solides arkimédiens(éditer)

Les différents solides archimoniques et platoniques peuvent être liés les uns aux autres par une poignée de constructions générales. Le début d'un solide platonique implique un raccourcissement de la coupe des angles. Pour préserver la symétrie, on découpe un plan perpendiculaire à la ligne qui se fixe au coin du centre du polyèdre et est identique pour tous les coins. En fonction de la quantité tronquée (voir tableau ci-dessous), divers solides platoniques et armés (et autres) peuvent être créés. Si la troncature est suffisamment profonde pour que chaque paire de faces d'angle adjacents divise exactement un point, on parle alors de correction. Une expansion ou une cantellation implique d'éloigner chaque face du centre (à la même distance pour préserver la symétrie du solide platonique) et de prendre la coque convexe. L'expansion par torsion implique également la rotation des faces, divisant ainsi chaque rectangle correspondant à une arête en deux triangles au niveau de l'une des diagonales du rectangle. La dernière construction que nous utilisons ici est le raccourcissement des angles et des arêtes. En ignorant la mise à l'échelle, l'expansion peut également être facilitée pour la correction. De même, la cantitration peut être considérée comme un raccourcissement de la réaction.

Construction de solides arkimédiens
symétrie tétraèdre
Réflexion Tétraédrique Domaines.png
octaèdre
Octaèdre réflexion domain.png
icosaèdre
Réflexion icosaédrique .png
Commence solide
opérations
symbole
P, q
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
tétraèdre
3,3
Polyèdre uniforme-33-t0.png
cube
4,3
Polyèdre uniforme-43-t0.svg
octaèdre
3,4
Polyèdre uniforme-43-t2.svg
dodécaèdre
5,3
Polyèdre uniforme-53-t0.svg
icosaèdre
3,5
Polyèdre uniforme-53-t2.svg
Abréviation (t) t p, q
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
tétraèdre tronqué
Polyèdre uniforme-33-t01.png
cube coiffé
Polyèdre uniforme-43-t01.svg
octaèdre tronqué
Polyèdre uniforme-43-t12.svg
dodécaèdre tronqué
Polyèdre uniforme-53-t01.svg
icosaèdre tronqué
Polyèdre uniforme-53-t12.svg
Rectification (s)
Ambo (a)
r p, q
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
tetratetrahedron
(Octahedron)
Polyèdre uniforme-33-t1.png
cuboctaèdre
Polyèdre uniforme-43-t1.svg
icosidodécaèdre
Polyèdre uniforme-53-t1.svg
Bituncation (2h)
Double cercueil (com)
2t p, q
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
tétraèdre tronqué
Uniforme polyèdre-33-t12.png
octaèdre tronqué
Uniforme polyèdre-43-t12.png
cube coiffé
Polyèdre uniforme-43-t01.svg
icosaèdre tronqué
Polyèdre uniforme-53-t12.svg
dodécaèdre tronqué
Polyèdre uniforme-53-t01.svg
Réalisation (2r)
Double (d)
2r p, q
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
tétraèdre
Polyèdre uniforme-33-t2.png
octaèdre
Polyèdre uniforme-43-t2.svg
cube
Polyèdre uniforme-43-t0.svg
icosaèdre
Polyèdre uniforme-53-t2.svg
dodécaèdre
Polyèdre uniforme-53-t0.svg
cantellation (rr)
Expansion (s)
rr p, q
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
rhombitetratetrahedron
(Cuboctaèdre)
Polyèdre uniforme-33-t02.png
rhombicuboctaèdre
Polyèdre uniforme-43-t02.png
rhombicosidodécaèdre
Polyèdre uniforme-53-t02.png
Snub corrigé (sr)
Snub (s)
sr p, q
CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
snubtetratetrahedron
(Icosahedron)
Polyèdre uniforme-33-s012.svg
snub cuboctaèdre
Polyèdre uniforme-43-s012.png
snob icosidodécaèdre
Polyèdre uniforme-53-s012.png
Cantitruncation (tr)
Commande (b)
tr p, q
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
tétrathétraèdre tronqué
(octaèdre tronqué)
Polyèdre uniforme-33-t012.png
cuboctaèdre coiffé
Polyèdre uniforme-43-t012.png
icosidodécaèdre tronqué
Polyèdre uniforme-53-t012.png

Remarquez la dualité entre le cube et l'octaèdre et entre le dodécaèdre et l'icosaèdre. Aussi en partie parce que le tétraèdre est en train de se dédoubler, un seul solide arkédien qui présente la symétrie la plus tétraédrique. (Tous les solides platoniques ont au moins une symétrie tétraédrique, car la symétrie tétraédrique est une opération de symétrie de symétries octaédriques et isohédrales (incluses), comme le montre le fait qu’un octaèdre peut être considéré comme un tétraèdre dirigé et un isoèdre peut être utilisé comme un adepte tétraèdre.)

Voir aussi(éditer)

  1. ^ un b Grünbaum (2009).
  2. ^ Field J., redécouverte des polyèdres archimédiens: Piero Della Francesca, Luca Pacioli, Léonard de Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro et Johannes Kepler, Archive pour l'histoire des sciences exactes, 50, 1997, 227
  3. ^ Malkevitch (1988), 85

références(éditer)

  • Grünbaum, Branko (2009), "Une erreur durable", Éléments de mathématiques, 64 (3): 89-101, doi: 10,4171 / EM / 120, MR 2520469. Reproduit dans Pitici, Mircea, éd. (2011) La meilleure écriture en mathématiques 2010, Princeton University Press, p. 18-31.
  • Jayatilake, Udaya (mars 2005). "Calculs de face et de pointe régulièrement de polyèdres". Gazette mathématique. 89 (514): 76-81..
  • Malkevitch, Joseph (1988), "Les jalons de l'histoire des polyèdres", dans Sénéchal, M.; Fleck, G. (eds.), Aménagement de la salle: une approche polyédrique, Boston: Birkhäuser, pp. 80-92.
  • Pugh, Anthony (1976). Polyèdres: une approche visuelle. Californie: Presses de l'Université de Californie à Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapitre 2
  • Williams, Robert (1979). Le fondement géométrique de la structure naturelle: un livre source pour le design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
  • Schreiber, Peter; Fischer, Gisela; Sternath, Maria Luise (2008). "Nouvel éclairage sur la redécouverte des solides d'Arkimesic à la Renaissance". Archive pour l'histoire des sciences exactes. 62 (4): 457 à 467. doi: 10,1007 / s00407-008-0024-z. ISSN 0003-9519..

Liens externes(éditer)


tout au long de votre voyage d’apprentissage des cristaux, vous avez sans doute rencontré des mots et des conversations étranges que vous n’auriez sans doute jamais cru avoir un rapport avec les cristaux, comme le tétraèdre, l’icosaèdre et les robustes de Platon. Et tu pensais que tu n’aurais jamais besoin de ta géométrie après le lycée ! Alors, que sont exactement les robustes de Platon ? En matière simples, il s’agit de polygones pleins ( une forme bidimensionnelle où tous les côtés et les angles sont égaux ), qui ont des faces planes et dont chaque face a la même forme et la même taille. Platon a théorisé que les éléments principaux ( terre, aspect, feu et eau ) étaient directement liés aux solides. il existe cinq solides de Platon : Tétraèdre – 4 faces ( feu ) ; Cube – 6 faces ; Octaèdre – 8 faces ; Dodécaèdre – 12 faces, et Icosaèdre – 20 faces ; Tétraèdres, qui ressemblent à une pyramide, sont associés à le composant feu. Les cubes sont associés à la terre. Les octaèdres ressemblent à un losange et sont liés à l’élément de l’air. Les icosaèdres ( composés de 20 triangles équilatéraux ) sont associés à le composant eau. Le dernier et souvent nommé le cinquième élément, l’éther, ou Akasha, a été nommé par Aristote et on dit que c’est ce qui compose le ciel. Le dernier solide de Platon, le dodécaèdre, est associé à le composant d’éther. n

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